Escreva a expressão x6+x4+x2y2+y4−y6 como produto de três fatores.
(Dica: Fatore separadamente x6−y6 e x4+x2y2+y4.)
Respostas
A expressão x⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴ - y⁶ pode ser escrita como (x² - y² + 1)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²).
Primeiramente, observe que podemos escrever a expressão x⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴ - y⁶ da seguinte forma:
x⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴ - y⁶ = x⁶ + x⁴y² + x²y⁴ - x⁴y² - x²y⁴ - y⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴.
Por sua vez, a expressão x⁶ + x⁴y² + x²y⁴ - x⁴y² - x²y⁴ - y⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴ é igual a:
x⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴ - y⁶ = (x² - y² + 1)(x⁴ + x²y² + y⁴).
Podemos escrever a expressão x⁴ + x²y² + y⁴ assim: x⁴ + x³y + x²y² - x³y - x²y² - xy³ + x²y² + xy³ + y⁴. Logo:
x⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴ - y⁶ = (x² - y² + 1)(x⁴ + x³y + x²y² - x³y - x²y² - xy³ + x²y² + xy³ + y⁴).
Porém, x⁴ + x³y + x²y² - x³y - x²y² - xy³ + x²y² + xy³ + y⁴ é igual ao produto (x² - xy + y²)(x² + xy + y²).
Portanto, podemos concluir que a expressão x⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴ - y⁶ é igual ao produto:
x⁶ + x⁴ + x²y² + y⁴ - y⁶ = (x² - y² + 1)(x² - xy + y²)(x² + xy + y²).