Question

a integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral para funções de duas variaveis reais. essa extensão é obtida por meio da expansão da soma Riemann de uma variável real para duas variáveis reais

Answer 1

Vamos relembrar algumas relações de integral.

1) Teorema fundamental do Calculo

$\fbox{\displaystyle \int\limits^a_b {f(x)} \, dx = F(a) - F(b) }$

( integra e substituir os limites de integração )

2) Integral de um monômio

$\fbox{\displaystyle \int\limits^a_b {a.x^n } \, dx = \frac{a.x^{(n+1)}}{n+1}|\limits^a_b }$

com $( a \neq 0 )$

3) Integral de uma constante

$\fbox{\displaystyle \int\limits^a_b {k } \ dx = k.x|\limits^a_b }$

com $( K \neq 0)$

Sabendo disso vamos para questão.

Temos a seguinte integral dupla :

$\fbox{\displaystyle \int\limits^2_0 \int\limits^3_0 {(x^2+y)} \, dxdy }$

Em integrais duplas/triplas começamos de dentro para fora, integrando de acordo com a variável definida.

Integrando o primeiro :

$\fbox{\displaystyle \int\limits^3_0 {(x^2+y)} \, dx = [ \frac{x^3}{3} + y.x ]|\limits^3_0 }$

substituindo os limites de integração:

$\fbox{\displaystyle [ \frac{x^3}{3} + y.x ]|\limits^3_0 \to [ \frac{3^3}{3} + y.3 ] - [\frac{0^3}{3} +y.0] \to \frac{27}{3} +3.y - 0 \to 9+3y }$

ou seja:

$\fbox{\displaystyle \int\limits^3_0 {(x^2+y)} \, dx = 9 + 3y }$

Vamos voltar na integral dupla e substituir o valor encontrado da primeira integral.

$\fbox{\displaystyle \int\limits^2_0 (9+3y) \,dy = [9y + \frac{3y^2}{2}]|\limits^2_0 }$

substituindo os limites de integração :

$\fbox{\displaystyle [9y + \frac{3y^2}{2}]|\limits^2_0 \to [9.2 + \frac{3.2^2}{2}] - [9.0 + \frac{3.0^2}{2}] }$

$\fbox{\displaystyle [9.2 + \frac{3.2^2}{2}] - [9.0 + \frac{3.0^2}{2}] \to [18 + 6] - 0 \to 24 }$

ou seja :

$\fbox{\displaystyle \int\limits^2_0 \int\limits^3_0 {(x^2+y)} \, dxdy =24 }$

Answer 2

• Resolvendo sua integral dupla, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int ^2_0 \int ^3_0 (x^2 + y)\ dxdy \Leftrightarrow \boxed{\boxed{\green{ 24}}} \end{aligned} }$

Para resolver sua integral dupla, devemos lembrar do Teorema de Fubini. Que diz que podemos inverter a ordem de integração.

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^c_a \int ^d_b f(x,y)\ dxdy \Leftrightarrow \int ^d_b \int ^c_a f(x,y)\ dy dx \end{aligned}$

Portanto, graças ao Teorema de Fubini, não importa a ordem que iremos começar, começando por x ou por y, ambas darão o mesmo resultado. Fazendo por x:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^2_0 \left[\int ^3_0 x^2 + y\ dx\right]dy \Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^2_0 \left[ \left. \frac{x^3}{3} + yx\right|^3_0\right]dy \Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^2_0 \left[\frac{3^3}{3} + y\cdot 3 - \frac{0^3}{3} + y\cdot 0\right]dy \Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^2_0 \left[9 + 3y - 0\right]dy \Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^2_0 \left[ 9 + 3y\right]\ dy \Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^2_0 9+3y\ dy \ \Rightarrow \left. 9y + \frac{3y^2}{2}\right| ^2_0\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \left. 9y + \frac{3y^2}{2}\right| ^2_0\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} 9(2) + \frac{3(2)^2}{2} - 9(0) + \frac{3(0)^2}{2} \Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} 24 - 0\Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{\green{24}}}\end{aligned} }$

• Irei agora fazer por y, para assim comprovar o Teorema de Fubini. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^3_0 \left[ \int ^2_0 x^2 + y\ dy\right]dx\Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^3_0 \left[ \left. x^2 y+ \frac{y^2}{2}\right| ^2_0 \right]dx\Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^3_0 \left[ \left. x^2 2+ \frac{2^2}{2} - x^2 0 + \frac{0}{2}\right]dx\Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^3_0 \left[ \left. 2x^2 +2 - 0\right]dx\Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^3_0 \left[ \left. 2x^2 +2 \right]dx\Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\int ^3_0 \left. 2x^2 +2\ dx\Rightarrow \left. \frac{2x^3}{3} + 2x\right|^3_0 \Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\left. \frac{2x^3}{3} + 2x\right|^3_0 \Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{2(3)^3}{3} + 2(3) - \frac{2(0)}{3} + 0\Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} 24 - 0\Leftrightarrow \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int ^2_0 \int ^3_0 (x^2 + y)\ dxdy \Leftrightarrow \boxed{\boxed{\green{ 24}}} \end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Teorema de Fubini.

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