Matéria: Matemática
Autor: ferreiradulcineia74
Perguntado 6 anos atrás

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Calcule o 500° da PA (2,5...)

a)1500
b)2459
c)1599
d)1499

vignaite89: tem gabarito ?

ferreiradulcineia74: @vignaite89 tem sim.

Respostas

respondido por: vignaite89

an -> ultimo termo da sequência

a1-> primeiro termo da sequência

n-> total de termos

r -> razão da sequência.

an = ?

a1 = 2

n= 500

r = 3 , razão na PA é a diferença entre o termo sucessor com o termo antecessor : a2 - a1 = r

Fórmula e sua aplicação :

an = a1 + (n - 1)r

an = 2 + (500 -1).3

an = 2 + 1497

an = 1499

Alternativa d

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (2, 5,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:2

c)quingentésimo termo (a₅₀₀): ?

d)número de termos (n): 500

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 500ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saiba o valor do quingentésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 5 - 2 ⇒

r = 3 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quingentésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₅₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₅₀₀ = 2 + (500 - 1) . (3) ⇒

a₅₀₀ = 2 + (499) . (3) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₅₀₀ = 2 + 1497 ⇒

a₅₀₀ = 1499

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O quingentésimo termo da P.A.(2, 5,...) é 1499. (ALTERNATIVA D.)

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₅₀₀ = 1499 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quingentésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₅₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

1499 = a₁ + (500 - 1) . (3) ⇒

1499 = a₁ + (499) . (3) ⇒

1499 = a₁ + 1497 ⇒ (Passa-se 1497 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

1499 - 1497 = a₁ ⇒

2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2 (Provado que a₅₀₀ = 1499.)

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