Question

alguem pode me ajudar?
(UFMT) Sejam -2 e 3 duas das raízes da equação 2x³ - x² + kx + t onde k e t pertencem ao conjunto dos números reais. A terceira raiz é:

Answer 1

Resposta:

A terceira raiz é -1/2.

Explicação passo-a-passo:

Substituindo as duas raízes que são dadas na equação

2x³ - x² + kx + t = 0

x = -2

x = 3

2.(-2)³-(-2)²+k(-2)+t = 0

-16 - 4 -2k + t = 0

I) -2k + t - 20 = 0

2.3³-3²+3k+t = 0

54-9+3k+t = 0

II) 3k + t + 45 = 0

Agora com as duas expressões é só montar um sistema de equações para descobrir k e t

I) -2k + t = 20

II) 3k + t = -45

t = 20 + 2k

3k + 20 + 2k = -45

5k = -65

k = -65/5

k = -13

t = 20 + 2k

t = 20 - 26

t = -6

Agora substituindo na equação, temos:

2x³-x²-13x-6=0

Fazendo a fatoração

2x³+x²-2x²-x-12x-6=0

x²(2x+1)-x.(2x+1)-6.(2x+1)=0

(x²-x-6).(2x+1)=0

(x²+2x-3x-6).(2x+1)=0

(x.(x+2)-3.(x+2)).(2x+1)=0

(x-3).(x+2).(2x+1)=0

Aí temos as 3 raízes, as que já tínhamos

x-3 = 0

x = 3

x+2 = 0

x = -2

E a terceira que faltava

2x + 1 = 0

2x = -1

x = -1/2