Question

Em um polígono regular o número de lados é um terço do número de diagonais.Determine o valor de cada ângulo interno desse polígono.Por favor me ajudem estou com muita dúvida.​

Answer 1

• Quantas diagonais tem um polígono regular?

Chamando de n o número de lados do polígono regular, seu número de diagonais (d) por der obtido através da seguinte equação:

$d=\dfrac{n(n-3)}{2}$

• Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono?

Para um polígono de n lados, a soma (S) de seus ângulos internos é dada por:

$S=(n-2)~.~180^{\circ}$

• Resolvendo o problema

Do enunciado, temos que número de lados é um terço do número de diagonais. Logo,

$n=\dfrac{d}{3}\\\\d=3~.~n$

Substituindo esse valor na equação das diagonais, temos

$d=\dfrac{n(n-3)}{2}\\\\3n=\dfrac{n(n-3)}{2}\\\\2~.~3n=n(n-3)\\\\6n=n^2-3n\\\\n^2=6n+3n\\\\n^2=9n\\\\\dfrac{n^2}{n}=9\\\\n=9$

Substituindo esse valor na equação da soma dos ângulos internos, temos

$S=(n-2)~.~180^{\circ}\\\\S=(9-2)~.~180^{\circ}\\\\S=7~.~180^{\circ}\\\\S=1.260^{\circ}$

Para saber o valor de cada ângulo interno (a) desse polígono, basta dividir S por n

$a=\dfrac{S}{n}\\\\a=\dfrac{1.260}{9}\\\\\boxed{\boxed{a=140^{\circ}}}$

• Para saber mais

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