Question

1. Dois pentágonos regulares P1 e P2 são semelhantes. Cada lado do pentágono P1 mede 8 cm. Qual é a medida do lado do pentágono P2, se a razão de semelhança de P1 para P2 é dois terços? 1 ponto a) 12 b) 15 c) 40 d) 60 2. Observe os polígonos regulares a seguir e responda qual é a razão, aproximada, de proporção entre os perímetros e os apótemas? 1 ponto Imagem sem legenda a) 0,87 b) 1,50 c) 6,00 d) 6,94

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Temos que

P1/P2 = 2/3 =>

8/P2 = 2/3 =>

2.P2 = 8.3 =>

2.P2 = 24 =>

P2 = 24/2 =>

P2 = 12 cm

Alternativa a)

2) Sem a imagem não dá pra responder essa

Answer 2

Utilizando relações de semelhança e proporcionalidade, obtivemos que:

• 1) 12 cm, letra A.
• 2) 6,94 , letra D.

Explicação passo-a-passo:

1)

Quando temos dois valores A e B que são semelhantes, podemos relacionar um ao outro por meio de uma constante de proporcionalidade K da forma:

A = K . B

Neste caso, nos foi dito que P1 é semelhante a P2, de forma que sua semelhança é dois terços, ou seja, sua constante de proporcionalidade é equivalente a 2/3, então nossa equação de semelhança é:

P1 = 2/3 . P2

Assim se nos fois dados que o lado do pentagono P1 vale 8 cm, podemos simplesmente substituir este valor na nossa relação de semelhança e calcularmos o valor de P2:

8 = 2/3 . P2

Como 3 está dividindo o lado direito, vamos passa-lo para o lado esquerdo multiplicando:

3 . 8 = 2 . P2

24 = 2 . P2

Da mesma forma vamos passar 2 para o lado esquerdo dividindo:

P2 = 24 / 2

P2 = 12 cm

Assim temos que o valor dos lados de P2 valem 12 cm, Letra A.

2)

Para qualquer hexagono, a distância do centro até um de seus vertices é igual a distância do lado L do mesmo.

Assim fica facil montar um triangulo equilatero de lado L, onde a altura é exatamente o apotema. Com isso sabemos o valor do apotema com formula de altura do triangulo:

$a=L\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$

Assim o apotema sempre tem relação direta com os lados por meio desta formula.

E sabemos que no caso do hexa, o perimetro é simplesmente a soma dos seis lados, ou seja, seis vezes o lado L:

$P=6L$

Assim para descobrirmos esta relação de proporção, basta dividirmos o perimetro 'P' pelo valor do apotema 'a', pois se a relação de proporcionalidade K vem de:

A = K . B

Então ela pode ser escrita como:

K = A / B

Assim:

$\frac{6L}{L\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}$

O L obviamente podemos cortar:

$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

E agora fazendo esta conta, basta dividirmos estas frações:

$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{6}{1}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2.6}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}$

Substituindo o valor da raíz de 3 por 1,73 aproximado, temos que:

$\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12}{1,73}=6,94$

Assim vemos que a relação entre o apotema e o perimetro é de 6,94 e podemos verificar isto na image, basta multiplicarmos o apotema de cada imagem por 6,94 e vermos se é igual ao perimetro:

Imagem maior: 2,6 x 6,94 = 18

Imagem menor: 1,73 x 6,94 = 12

E assim verificamos que esta relação é de 6,94, letra D.

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