Question

o termo independente de x, no desenvolvimento de$(x^{2}- \frac{1}{x})^6$

Answer 1

Olá, Patrícia.

Isto é um Binômio de Newton.

$(x^2+\frac1x)^6=\sum\limits_{k=0}^6 \binom{6}{k}(x^2)^{6-k}(\frac1x)^{k}=\sum\limits_{k=0}^6 \binom{6}{k}x^{12-2k}x^{-k}=\\\\=\sum\limits_{k=0}^6 \binom{6}{k}x^{12-2k-k}=\sum\limits_{k=0}^6 \binom{6}{k}x^{12-3k}$

Para que o termo seja independente de $x,$ devemos ter o expoente do termo geral igual a zero, ou seja:

$12-3k=0\Rightarrow k=4$

O coeficiente do Binômio de Newton para $k=4$ é dado por:

$\binom64=\frac{6!}{4!(6-4)!}=\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot2!}=\boxed{15}$