Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine o vigésimo termo. Qual a alternativa correta?

A)143
B)208
C)222
D)150

Respostas

respondido por: Helvio

Resposta:

Letra A) 143

vigésimo termo = a20 = 143

Explicação passo-a-passo:

Encontrar a razão da PA:

r = a2 - a1

r = 17 - 10

r = 7

===

an = a1 + ( n -1 ) . r

a20 = 10 + ( 20 -1 ) . 7

a20 = 10 + 19 . 7

a20 = 10 + 133

a20 = 143

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (10, 17, 24,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:10

c)vigésimo termo (a₂₀): ?

d)número de termos (n): 20

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saiba o valor do vigésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 17 - 10 ⇒

r = 7 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₀ = 10 + (20 - 1) . (7) ⇒

a₂₀ = 10 + (19) . (7) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₂₀ = 10 + 133 ⇒

a₂₀ = 143

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O vigésimo termo da P.A.(10, 17, 24,...) é 143. (ALTERNATIVA A.)

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₀ = 143 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

143 = a₁ + (20 - 1) . (7) ⇒

143 = a₁ + (19) . (7) ⇒

143 = a₁ + 133 ⇒

143 - 133 = a₁ ⇒

10 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 10 (Provado que a₁₀ = 143.)

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