Question

qual a área do círculo inscrito a um triângulo equilátero de lado 12 cm ?

Answer 1

Ac= pi × r^2

Ac= 3,14 × 6^2

Ac=3,14 × 36

Ac= 113,04 cm^2

Answer 2

Área do círculo inscrito a um triangulo, significa que o circulo está dentro do triangulo. O mesmo estaria fora, caso o enunciado informasse que ele estivesse circunscrito.
A figura em anexo, esboça a descrição do enunciado. OBS: as medidas não são referente a esta questão.

A questão pede a área do círculo e a fórmula que a professora nos apresentou é:
A(circulo)=$\pi * r^{2}$, o qual A=área, $\pi$=3,141213 e r temos que resgatá-lo!

Então, vamos lá!
Esboçando e analisando a figura descrita pelo enunciado, podemos dividir a figura em 2 partes iguais, através de um de seus ângulos. Encontraremos um triangulo retângulo, onde sua hipotenusa (reta oposta ao ângulo de 90 graus), possui 12cm, sua base possui 6cm (devido ao triangulo equilátero ter sido dividido ao meio) e a altura "h" que precisamos descobrir para o cálculo do raio.

Como dividimos o triângulo equilátero ao meio, estamos trabalhando no momento com o triângulo retângulo, ou seja, podemos usar o teorema de pitágoras para encontrarmos a altura "h". Então:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$ <=> $12^{2} = 6^{2} + h^{2}$ <=> h=$6 \sqrt{3}$

Agora, precisamos encontrar o raio "r" e para isso, é necessário sabermos que há uma propriedade trigonométrica para isso, veja o conceito:

Quando o triângulo é equilátero ( todos os lados iguais ) suas cevianas* coincidem. A bissetriz, a altura, a mediana, a mediatriz são as mesmas. O que, realmente, vai ser útil neste caso é a coincidência da bissetriz ser a altura. Desta forma, o INCENTRO é, também, o ORTOCENTRO do triângulo encontro das alturas. A característica importante do ORTOCENTRO é que ele divide as alturas em segmentos correspondentes a 2/3 dessa altura partindo do vértice do triângulo até o ORTOCENTRO e 1/3 dessa altura do ORTOCENTRO até o ponto médio do lado do triângulo. Esse segmento de reta com medida de 1/3 da altura é o raio do círculo. Vide figura em anexo.

OBS: *Ceviana é uma reta que liga um dos vértices do triângulo ao lado oposto correspondente (ou ao seu prolongamento). 

Assim, temos que:
r=$\frac{1}{3} *h$ <=> r=$\frac{6 \sqrt{3} }{3}$ <=> r=$2 \sqrt{3}$

Agora que encontramos o raio, sobrou somente a incógnita, que refere-se à pergunta do enunciado, a área!

A=$\pi r^{2}$ <=> 3,141213*$(2 \sqrt{3}) ^{2}$
A=37,7$cm^{2}$