Question

Seja M uma matriz invertível de ordem n tal que
det (M^2 - M) = 0​

a) Mostre que a Matriz M - I não é invertível.
b) Existe uma matriz X invertível tal que MX = X?

Answer 1

Resposta:

a) Vamos mostrar que det(M-I)=0, assim M-I não será invertível. Sabemos que det(M^2 - M)=0. Então,

det (M^2-M)=0

det(M(M-I))=0

det(M)*det(M-I)=0

como detM é diferente de zero, M é invertível.

=> det(M-I)=0

b) sim, basta que M=I. Dessa forma qualquer matriz invertivel X irá satisfazer

Mx=x

Ix=x

Explicação passo-a-passo:

a) Vamos mostrar que det(M-I)=0, assim M-I não será invertível. Sabemos que det(M^2 - M)=0. Então,

det (M^2-M)=0

det(M(M-I))=0

det(M)*det(M-I)=0

como detM é diferente de zero, M é invertível.

=> det(M-I)=0

b) sim, basta que M=I. Dessa forma qualquer matriz invertivel X irá satisfazer

Mx=x

Ix=x