Question

Um veículo viaja entre dois povoados da Serra da Mantiqueira, percorrendo a primeira metade do trajeto à velocidade média de 60 km/h, a parte restante a 40 km/h. O valor da velocidade média do veículo nessa viagem, em km/h

Answer 1

A questão trata de velocidade média, a velocidade que o corpo, caso performasse uma velocidade constante, teria para completar um trajeto num tempo específico. Se um trajeto possui extensão ΔS e levou um tempo Δt para completá-lo, a velocidade média do percurso é dada por

$\overline{v} = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$

Suponha que nosso trajeto tenha sido repartido em n trajetos menores, a extensão do i-ésimo trajeto é dado por $\Delta S_i$, em que performa uma velocidade média de $\overline{v_i}$. Contra-intuitivamente, a velocidade média não é a média das velocidades em cada trajeto, nem se o trajeto for dividido em partes iguais, a real velocidade média é encontrada partindo da expressão acima para o total, obtendo

$\overline{v} = \dfrac{\Delta S_1+\dots+\Delta S_n}{\Delta t_1+\dots +\Delta t_n}$

Perceba que o problema torna-se diferente do abordado inicialmente, uma vez que é dado a velocidade média dos trajetos menores e não o tempo. No entanto, a expressão para velocidade média vale para as pequenas porções separadamente, obtendo que, no i-ésimo trajeto

$\overline{v_i} = \dfrac{\Delta S_i}{\Delta t_i}$

Assim, encontramos o tempo do percurso para cada trajeto a partir de valores conhecidos, a velocidade e extensão dos trajetos menores.

$\Delta t_i = \dfrac{\Delta S_i}{\overline{v_i}}$

Portanto, a velocidade média do trajeto todo

$\overline{v} = \dfrac{\Delta S_1+\dots+\Delta S_n}{\frac{\Delta S_1}{v_1} +\dots+\frac{\Delta S_n}{v_n}}$

Este resultado é uma generalização do problema apresentado no exercício, em que o trajeto é dividido em 2, cada um com metade do trajeto. Deste modo, teremos que a velocidade média é dada por

$\overline{v} = \dfrac{\Delta S_1+\Delta S_2}{\frac{\Delta S_1}{v_1} +\frac{\Delta S_2}{v_2}}$

Sabendo que ΔS₁ = ΔS₂ = S, metade do trajeto, e v₁ = 60 km/h, v₂ = 40 km/h, então

$\overline{v} = \dfrac{2S}{\frac{S}{60} +\frac{S}{40}}$

$\overline{v} = \dfrac{2S}{\frac{2S}{120}+\frac{3S}{120}} = \dfrac{2S}{\frac{5S}{120}}$

$\overline{v}=\dfrac{240S}{5S} = 48 \hspace{0.15cm}\mathrm{km/h}$

Deste modo, a velocidade média do percurso é de 48 km/h