Question

Considere o triângulo retângulo da figura, sabendo que os catetos medem 3 cm e 4 cm e que os diâmetros dos semicírculos coincidem com os catetos, determine em centímetros quadrados a área da região hachurada.

Answer 1

Observe que os arcos CAB, AB e CA formam semicircunferências. Sabendo os valores dos catetos AB e AC é possível saber o raio dos arcos mencionados, ja que eles são a metade dos catetos.

Para encontrar a área hachurada temos que fazer:

1) Encontrar a área da semicircunferência CAB.

2) Subtrair dela a área do triângulo retângulo, e assim obtendo a área branca que está do lado de fora deste triângulo.

3) Calcular as áreas das semicircunferências AB e CA e subtrai dela a área encontrada em (2).

Vamos então aos cálculos.

1) Primeiro temos que encontrar a hipotenusa do triângulo retangulo, pois a metade dela sera o raio da circunferência CAB.

x² = 3² + 4²

x² = 25

x = 5

O raio é 5 : 2 = 2,5  e por fim a área da semicircunferência será:

$A = \dfrac{\pi r^2}{2} = \dfrac{\pi.2,5^2}{2} = 3,125 \pi$

2) A área de um triangulo retângulo pode ser calculada multiplicando seus catetos e dividindo o resultado por dois.

$A_t = \dfrac{3.4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$

Área da circunferência - Área do triangulo:

3,125π - 6

3) Sabendo que as medidas dos catetos são 3 e 4, é facil calcular as áreas das semicircunferências.

$A_{AB} = \dfrac{\pi . 2^2}{2} = 2 \pi \\\\\\A_{CA} = \dfrac{\pi. 1,5^2}{2} = 1,125 \pi$

E por fim, a área hachurada é dada por:

Área das semicircunferências - Área calculada em (2)

$2\pi + 1,125\pi - (3,125\pi - 6) = 6$

Resposta: 6

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