Question

Considere o campo vetorial conservativo de R3 dado por V = (yz -2x)î + xzĵ +(xy -2z)k̂. Seu potencial associado é:


U(x,y,z) = xy +x2 -z2


U(x,y,z) = yz +x2


U(x,y,z) = xyz -x2 -z2


U(x,y,z) = xy +x2

U(x,y,z) = xyz

Answer 1

$U(x,y,z)=xyz-x^2-z^2$

pois

$\nabla U=V$

Resolvendo:

$\frac{\partial U}{\partial x} =yz-2x \Rightarrow U(x,y,z)=\int yz-2x \ dx =xyz-x^2 +h(y,z)\\\Rightarrow\\\frac{\partial U}{\partial y}=xz=xz+h'(y,z) \Rightarrow h'(y,z)=0\\\\h(y,z)=\int 0\ dy=g(z) \Rightarrow U(x,y,z)=xyz-x^2+g(z)\\\\\frac{\partial U}{\partial z}=xy-2z=xy+g'(z) \Rightarrow g'(z)=-2z\\\\g(z)=\int -2z\ dz=-z^2+c$

descarta a constante é do mesmo grupo de família.

$U(x,y,z)=xyz-x^2-z^2$

Como se queria demonstrar.

Não fiz antes pq tava com preguiça de usar LaTex para derivada parcial