Question

A população de um determinado país vem decrescendo em relação ao tempo t. dado em anos, segundo a função P(t)= A.2^Bt , onde A é o valor da população em t=0 e B é uma constante. Sabe-se que, depois de 32 anos, a população foi reduzida à metade da população inicial. Quantos anos serão necessários para que a população fique reduzida à oitava parte da população inicial?
A) 32.
B) 64.
C) 96.
D) 128.
E) 256
me expliquem pfv

Answer 1

Resposta:

c

Explicação passo-a-passo:

Primeiro, vamos descobrir a população inicial, usando a informação que quando t é 0, a população é inicial, substituindo essas informações na função

$p(t) = a. {2}^{bt} \\ p(0) = a. {2}^{b.0} \\ p(0) = a. {2}^{0} \\ p(0) = a$

Então, a população inicial é igual á A, usando a segunda informação de que depois de 32 anos, a população se reduziu a metade, então a população depois de 32 anos é igual a/2

$p(t) = a. {2}^{b.t} \\ p(32) = a. {2}^{b.32} \\ \frac{a}{2} = a. {2}^{b.32} \\ \frac{ \frac{a}{2} }{ \frac{a}{1} } = {2}^{b.32} \\ \frac{a}{2} . \frac{1}{a} = {2}^{b.32} \\ \frac{a}{2a} = {2}^{b.32} \\ \frac{1}{2} = {2}^{b.32}$

Lembrando que 1/2 é igual 2 elevado -1,

${2}^{ - 1} = {2}^{b.32}$

Como as bases sãos iguais, é preciso que a potência seja igual também

$- 1 = 32.b \\ b = \frac{ - 1}{32}$

Agora, descobrimos o valor de B, vamos junta todas as informações e achar o resultado final, vamos usar a/8 porque é falado que a população foi reduzida à oitava parte

$p(t) = a. {2}^{ \frac{ - 1}{32}.t } \\ \frac{a}{8} = a. {2}^{ \frac{ - 1}{32}.t } \\ \frac{ \frac{a}{8} }{ \frac{a}{1} } = {2}^{ \frac{ - 1}{32}.t } \\ \frac{a}{8} . \frac{1}{a} = {2}^{ \frac{ - 1}{32}.t } \\ \frac{a}{8a} = {2}^{ \frac{ - 1}{32}.t } \\ \frac{1}{8} = {2}^{ \frac{ - 1}{32}.t }$

Lembrando que

$\frac{1}{8} = {2}^{ - 3}$

Agora, resolvemos o restante

${2}^{ - 3} = {2}^{ \frac{ - 1}{32}.t }$

Para essa sentença ser verdadeira, é preciso que as potências sejam iguais

$- 3 = \frac{ - t}{32} \\ - 3.32 = - t \\ - t = - 96 \\ t = 96$

Em 96 anos, a população foi reduzida à sua oitava parte