Question

Dada a função real f(x) = – x² + 6x + 3, determinar o conjunto f⁻¹ (8)?

Answer 1

A questão nos fornece a função f(x), dada por:

$\sf f(x) = - x {}^{2} + 6x + 3$

E nos pede para determinar qual o valor da inversa de f(x), quando a abscissa "x" é igual a "8", para começar esse cálculo teremos que achar a função inversa de f(x).

Primeiramente devemos trocar "x" por "y" e "y" por "x", além de trocar "f(x)" por "y", já que são equivalentes e é mais fácil trabalhar com a incógnita "y".

$\sf f(x) = - x {}^{2} + 6x + 3 \\ \sf y = - x {}^{2} + 6x + 3 \\ \star \: \sf x = - y {}^{2} + 6y + 3 \: \star$

Tendo feito isso, vamos resolver essa equação do segundo grau para "y", ou seja, vamos passar o "x" para o outro membro da equação de forma que a mesma fique igual a "0".

$\sf x = - y {}^{2} + 6y + 3 \\ \sf - y {}^{2} + 6y + 3 - x = 0$

Vamos identificar os coeficientes dessa equação:

$\sf \begin{cases} \sf a = - 1 \\ \sf b = 6 \\ \sf c = 3 - x \end{cases}$

Substituir os coeficientes na fórmula do discriminante (∆):

$\boxed{\sf \Delta = b {}^{2} - 4.a.c} \\ \sf \Delta = (6) {}^{2} - 4. ( - 1).(3 - x) \\ \sf \Delta = 36 + 4.(3 - x) \\ \sf \Delta = 36 + 12 - 4x \\ \sf \Delta = 48 - 4x \\ \sf \Delta = 4.(12 - x)$

Substituir mais uma vez, só que na fórmula de Bháskara:

$\boxed{ \sf y = \frac{ - b \pm \sqrt{\Delta } }{2.a} } \\ \\ \sf y= \frac{ - 6 \pm \sqrt{4.(12 - x)} }{2.( - 1)} \\ \\ \sf y = \frac{ - 6 \pm \sqrt{2 {}^{2}( 12 - x} )}{ - 2} \\ \\ \sf y = \frac{ - 6 \pm 2 \sqrt{12 - x} }{ - 2} \\ \\ \sf y_1 = \frac{ - 6 + 2 \sqrt{12 - x} }{ - 2} \\ \sf y_1 = \frac{ 2.( - 3 + \sqrt{12 - x}) }{ - 2} \\ \sf y_1 = - .( - 3 + \sqrt{12 - x} ) \\ \boxed{ \sf y_1 = 3 - \sqrt{12 - x} } \\ \\ \sf y_2 = \frac{ - 6 - 2 \sqrt{12 - x} }{ - 2} \\ \sf y_2 = \frac{ - 2.( 3 + \sqrt{12 - x}) }{ - 2} \\ \boxed{\sf y_2 = 3 + \sqrt{12 - x} }$

Portanto temos que a função inversa da função f(x) é dada por:

$\sf f {}^{ - 1} (x) = 3 - \sqrt{12 - x};\: 3 + \sqrt{12 - x}$

Agora para finalizar é só substituir o valor que a questão pede.

$\sf f {}^{ - 1} (8) = 3 - \sqrt{12 - 8} ;\: 3 + \sqrt{12 - 8} \\ \sf f {}^{ - 1} (8) = 3 - \sqrt{4} ;\: 3 + \sqrt{4} \\ \sf f {}^{ - 1} (8) = 3 - 2; \: 3 + 2 \\ \sf f {}^{ - 1} (8) = 1; \: 5$

Portanto os possíveis valores são:

$\boxed{ \sf s = \{1; \: 5 \}}$

Espero ter ajudado