Question

2 cos (3x) + 3 tan (3x) = 0 para -π/3 ≤ x ≤ π/3
Me ajudem por favor!!!

Answer 1

Utilizando substituições em equações trigonometricas, temos duas soluções. S = {-5π/18;-π/18}.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte equação:

$2cos(3x)+3tan(3x)=0$

Vamos substituir a tangente por seu equivalente usando a seguinte propriedade:

$tan(a)=\frac{sen(a)}{cos(a)}$

Ficando:

$2cos(3x)+3\frac{sen(3x)}{cos(3x)}=0$

Agora multiplicando todos os lados por cos(3x) simplificamso a equação:

$2cos^2(3x)+3sen(3x)=0$

Agora vamos usar a seguinte propriedade trigonometrica:

$sen^2(a)+cos^2(a)=1$

Logo:

$cos^2(a)=1-sen^2(a)$

Logo podemos substituir um cosseno quadrado por 1 - seno ao quadrado. Fazendo isto na nossa equação:

$2cos^2(3x)+3sen(3x)=0$

$2(1-sen^2(3x))+3sen(3x)=0$

$2-2sen^2(3x)+3sen(3x)=0$

Agora note que todos os termos dependem de sen(3x), então vamos substitui-lo por algo mais simples como uma única letra:

$sen(3x)=y$

Então:

$2-2sen^2(3x)+3sen(3x)=0$

$2-2y^2+3y=0$

E assim temos uma equação de segundo grau, que podemos facilmente resolver utilizando Bhaskara, que resulta em:

$y_1=-\frac{1}{2}$

$y_2=4$

Mas lembre-se que nossa resultado não é com y e sim x, ou seja, precisamos retirar y e voltar com x:

$sen(3x)=y$

Porém o y2 não serve, pois o resultado dele é 4, e não existe seno cujo valor é 4, então só temos que y = -1/2, então:

$sen(3x)=-\frac{1}{2}$

Sabemos que o angulo que possui seno igual a -1/2 dentro do intervalo de -π até π são dois, -5π/6 e -π/6, então o angulo dentro do seno é igual a um destes dois:

$3x=-\frac{\pi}{6}$

Ou

$3x=-\frac{5\pi}{6}$

Passando o 3 dividindo nos dois casos:

$x=-\frac{\pi}{18}$

Ou

$x=-\frac{5\pi}{18}$

E ambos estes angulos estão dentro do intervalo de -π/3 ≤ x ≤ π/3, ou seja, temos duas soluções. S = {-5π/18;-π/18}.