Matéria: Matemática
Autor: brunojb23p8bvuq
Perguntado 6 anos atrás

Calcule o quinquagésimo sétimo termo da P.A. ( 2, -7, ........)

Respostas

respondido por: viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (2, -7,...), tem-se que:

a)cada elemento nela presente é o resultado do imediatamente anterior adicionado a um mesmo valor, a saber, 9 unidades negativas (-9). Se um comportamento deste tipo acontece, tem-se uma sequência numérica especial, denominada progressão aritmética (P.A.).

b)progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão.

c)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 2 (é o primeiro elemento da sequência e consiste no único número não formado pela soma de um anterior com a razão);

d)quinquagésimo sétimo termo (a₅₇): ?

e)número de termos (n): 57

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 57ª), equivalente ao número de termos.

f)Embora não se saiba o valor do quinquagésimo sétimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será negativa (afinal, os valores dos termos decrescem, afastam-se do zero, para a esquerda dele, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante negativo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será menor que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = -7 - 2 ⇒

r = -9 (Razão negativa, conforme prenunciado no item f acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o quinquagésimo sétimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₅₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₅₇ = 2 + (57 - 1) . (-9) ⇒

a₅₇ = 2 + (56) . (-9) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₅₇ = 2 - 504 ⇒

a₅₇ = -502

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais diferentes, +x- ou -x+, resultam sempre em sinal de negativo (-).

Resposta: O quinquagésimo sétimo termo da P.A. (2, -7,...) é -502.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₅₇ = -502 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o quinquagésimo sétimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₅₇ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

-502 = a₁ + (57 - 1) . (-9) ⇒

-502 = a₁ + (56) . (-9) ⇒

-502 = a₁ - 504 ⇒

-502 + 504 = a₁ ⇒

2 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 2 (Provado que a₅₇ = -502.)

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