Question

Uma pequena esfera é lançada com velocidade inicial de módulo 20 m/s e forma 60° com a horizontal, conforme a figura. Considere g = 10m/s² e despreze a resistência do ar. sendo sen 60° = √3/2 e cos 60° = 1/2, determine:

a) o tempo de subida

b) a altura máxima e o alcance horizontal

Answer 1

Item a):

Para calcular o tempo de subida, vamos usar a equação horária das velocidades, dada por:

$\star \: \sf v = v_0.sen \theta - g.t \: \star$

A velocidade final (v) é igual a "0", pois a esfera atinge o ponto máximo e faz uma "parada" para poder começar a cair, nessa parada ele adquire a velocidade final igual a 0m/s.

$\ast \: \sf v = 0m/s \: \ast$

A velocidade inicial, a gravidade e o seno de theta a questão nos fornece, então vamos substituir na fórmula:

$\sf 0 = 20.sen 60 {}^{ \circ} - 10.t \\ \sf 0 = 20. \frac{ \sqrt{3} }{2} - 10t \\ \sf 0 = \frac{20 \sqrt{3} }{2} - 10t \\ \sf 0 = 10 \sqrt{3} - 10t \\ \sf - 10 \sqrt{3} = 10t \\ \sf t = \frac{ - 10 \sqrt{3} }{ - 10} \\ \boxed{\sf t = \sqrt{3} s\:\: ou \:\: 1,73s}$

Esse é o tempo de subida.

Item b):

Para encontrar a altura máxima, vamos substituir mesmos dados na equação horária das posições para o MUV.

$\sf H_{m\acute{a}x} = y_0 + v_0.sen \theta.t - \frac{1}{2} .gt {}^{2} \\ \sf H_{m\acute{a}x} = 0 + 20. \frac{ \sqrt{3} }{2}. \sqrt{3} - \frac{1}{2} .10.( \sqrt{3} ) {}^{2} \\ \sf H_{m\acute{a}x} = \frac{20 \sqrt{3}. \sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} .10.3 \\ \sf H_{m\acute{a}x} = \frac{20 \sqrt{9} }{2} - \frac{30}{2} \\ \sf H_{m\acute{a}x} = \frac{20.3}{2} - 15 \\ \sf H_{m\acute{a}x} = \frac{60}{2} - 15 \\ \sf H_{m\acute{a}x} = 30 - 15 \\ \boxed{ \sf H_{m\acute{a}x} = 15m}$

Pare encontar o alcance, basta substituir a velocidade e o tempo na equação horária da posição para o MU.

$\sf x = x_0 + v.t \\ \sf x = 0 + 20. \sqrt{3} \\ \boxed{ \sf x = 20 \sqrt{3} \: \: ou \: \: 34,64m}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

a) t = 1,7 s

b) y = 14,45 m e x = 34 m

Explicação:

O movimento  da esfera pode ser decomposto em dois eixo, x e y, perpendiculares entre si. Segundo x o eixo x o movimento é uniforme e, segundo o eixo y, o movimento é uniformemente variado.

Inicialmente vamos determinar as componentes horizontal e vertical da velocidade inicial vo.

Componente segundo o eixo x (horizontal)

vox = vo . cos α (sabemos que vo = 20 m/s) e (α = 60°) e (cos 60° = 1/2)

vox = 20.cos 60°

vox = 20.1/2

vox = 10 m/s (no MU a velocidade é constante)

Componente segundo o eixo y (vertical)

voy = vo.sen α  (sabemos que vo = 20 m/s) e (α = 60°) e (sen 60° = √3/2)

voy = 20.sen 60°

voy = 20.√3/2

voy = 20.1,7/2

voy = 34/2

voy = 17 m/s

As funções que regem os movimentos são:

Segundo x

x = xo + vox.t

x  = o +  10.t

x = 10t

Segundo y

y = yo + voy.t + 1/2.(-g).t² (contra a gravidade g é negativo)

y = 0 + 17t - 1/2.10t²

y = 17t - 5t²

vy = voy + gt

vy = 17 - 10t

a) O tempo de subida

vy = 17 - 10t (na altura máxima vy = 0

0 = 17 - 10t

-17 = -10t

-17/-10 = t

1,7 s = t

b)

A altura máxima

Substituindo t = 1,7 s em y = 17t - 5t²

y = 17.1,7 - 5.(1,7)²

y = 28,9 - 5.2,89

y = 28,9 - 14,45

y = 14,45 m

O alcance

Quando o corpo toca o solo y = 0

y = 17t - 5t²

0 = 17t - 5t²

-5t² + 17t = 0

a = -5

b = 17

c = 0

t = -b +- √b² - 4.a.c/2.a

t = -b +- √17² - 4.(-5).0 /2.(-5)

t = -17 +- √289 + 0/-10

t = -17 +- 17/ -10

t' = -17 + 17/-10 = 0/-10 = 0

t'' = -17 - 17/-10 = -34/-10 = 3,4 s

x = 10t

x = 10.3,4

x = 34 m