a) as medidas dos lados PQ, PR e RQ. (considere u a medida do
lado do triângulo ABC)
b) o perímetro dos triângulos ABC, POR E STU.
c)
a sequência numérica cujos termos são os perímetros dos tri-
ângulos ABC, PQR, STU e de mais outros dois triângulos cons-
truídos segundo o mesmo critério.
d)
a soma dos perímetros dos infinitos triângulos construídos
por esse processo.
Respostas
Primeiramente, saiba que todos os triângulos são equiláteros nesse desenho, ou seja, possuem lados de mesmo comprimento.
a) O lado AB mede u. Perceba que P é o ponto médio desse lado, dividindo-o ao meio. Logo, AP e PB medem u/2 . Assim, sabendo da afirmação do início da resolução desse exercício, podemos dizer que PQ e BQ também medem u/2 , já que BPQ também é um triângulo equilátero presente na imagem.
Dessa forma, se PQ vale u/2, PR e RQ também medirão u/2 , assim como QC,RC ,PR e AR.
b) Se o lado de ABC vale u, o seu perímetro vale 3u .
Se o lado do triângulo PQR vale u/2 , o seu perímetro vale 3u/2.
Perceba que S é o ponto médio do lado PR, o qual mede u/2. Logo se S divide esse lado ao meio, PS e SR medem u/4 . Logo, os lados dos triângulos STU,PST,SRU e TQU medem todos u/4 , o que faz com que o perímetro de cada um desses seja de 3u/4 .
c) A sequência dos perímetros dos três triângulos escritos na pergunta é : { 3u , 3u/2 , 3u,4 } . Perceba que esses valores formam uma PG de razão 1/2 , ou seja, todo número subsequente é a metade do seu antecessor. Sabendo disso, podemos completar essa progressão com mais dois números, como se pede : { 3u , 3u/2 , 3u/4 , 3u/8 , 3u / 16 }
d) Sabendo que a fórmula para se calcular a soma dos termos de uma PG infinita é :
S = a₁ / 1-q , temos que :
S = 3u / 1 - 1/2
S = 3u / 1/2
S = 3u / 0,5
S = 6u
Bons estudos!