Question

A derivada da função x² + 1 é: ​​​​​​​

Alguém explica por favor! :)

Answer 1

Resposta:

2x

Explicação passo-a-passo:

$\\\\\\f(x)=ax^n\\f'(x)=n.a.x^n^-^1$

derivada de constante é 0

e dos polinômios segue a regra de cima cada uma dessas regras são provadas pelo limite:

$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Mostrar que:

$Dado \ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+..+a_nx^n \ \Rightarrow f'(x)=a_1+2.a_2x+3.a_3x^2+...+n.a_nx^n^-^1$

DEMONSTRAÇÃO:

regraduação para

$f'(x')=\lim_{x' \to x} \frac{f(x')-f(x)}{x'-x}$

vamos primeiro fazer uma mudança de variável h=x'-x como no esquema do desenho. Então

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

resolvendo

$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{[a_0+a_1(x+h)+a_2(x+h)^2+...+a_n(x+h)^n]-[a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n]}{h}$

vamos usar:

${\left(x+h\right)}^{n}=\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}x^{{n-k}}h^{k}$

sendo

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

entao$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{a_0+a_1x+a_1h+a_2x^2+2a_2hx+a_2h^2+...+a_n\sum _{{k=0}}^{n}{n \choose k}x^{{n-k}}h^{k}-a_0-a_1x-a_2x^2-...-a_nx^n}{h}$somando oq é possível:

$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{a_1h+2a_2hx+a_2h^2+...+a_n\sum _{{k=1}}^{n}{n \choose k}x^{{n-k}}h^{k}}{h}$

agora fatoramos h

$f'(x)=\lim_{h \to 0} a_1+2a_2x+a_2h+...+a_n\sum _{{k=1}}^{n}{n\choose k}x^{{n-k}}h^k^-^1$

Então

$f'(x)=\lim_{h \to 0} a_1+2a_2x+a_2h+...+a_n{n\choose 1}x^{{n-1}}+a_n\sum _{{k=2}}^{n}{n\choose k}x^{{n-k}}h^k^-^1$ por fim

$f'(x)=\lim_{h \to 0} a_1+2a_2x+a_2h+...+na_n x^{{n-1}}+a_n\sum _{{k=2}}^{n}{n\choose k}x^{{n-k}}h^k^-^1$

então passando o limite

$f'(x)=a_1+2.a_2x+3.a_3x^2+...+n.a_nx^n^-^1$