Question

A soma dos coeficientes da expansão binomial de (3x-y/raiz de x)^n (elevado a n) é igual A 32
Calcule o Valor de n é desenvolva o binômio

Answer 1

Para resolver essa questão, devemos usar o teorema do desenvolvimento do binômio de Newton, dado pela fórmula:

$\boxed{\sf (a + b)^{n} = \sum_{p=0}^{n} C_{n,p} \: a^{n-p}.b {}^{p} }$

Mas primeiro devemos encontrar o valor de "n", para isso basta você lembrar de que quando vamos fazer a soma dos coeficientes, devemos supor que o primeiro e o segundo termo do binômio sejam iguais a "1", sabendo disso, vamos colocar essa ideia em prática:

$\sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{n} \longrightarrow p/x = 1, \: y = 1 \\ \\ \sf (3.1 - \frac{1}{ \sqrt{1} } ) {}^{n} = (3 - \frac{1}{1} ) {}^{n} = (3 - 1) {}^{n} = (2) {}^{n}$

A questão diz que a soma dos coeficientes é igual a "32", ou seja, devemos igualar essa expressão (2ⁿ) a

soma dos coeficientes.

$\sf 2 {}^{n} = 32 \\ \\ \sf 2 {}^{n} = 2.2.2.2.2 \\ \\ \sf \cancel2 {}^{n} = \cancel2 {}^{5} \\ \\ \boxed{ \sf n = 5}$

Agora é só substituir o valor de "n" no binômio e desenvolver através do binômio de Newton que eu citei no começo da questão.

$\sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = \binom{5}{0} .(3x) {}^{5}.( \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{0} - \binom{5}{1} .(3x) {}^{4} .( \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{1} + \binom{5}{2} .(3x) {}^{3} .( \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{2} - \binom{5}{3} .(3x) {}^{2} .( \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{3} + \binom{5}{4} .(3x) {}^{1} .( \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{4} - \binom{5}{5} .(3x) {}^{0} .( \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} \\ \\ \sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = 1.243x {}^{5} .1 - 5.81x {}^{4} . \frac{y}{ \sqrt{x} } + 10.27 {x}^{3} \frac{y {}^{2} }{( \sqrt{x} ) {}^{2} } - 10.9x {}^{2} . \frac{y {}^{3} }{( \sqrt{ x}) {}^{3} } + 5.3x. \frac{y {}^{4} }{( \sqrt{x}) {}^{4} } - 1.1. \frac{y {}^{5} }{( \sqrt{x}) {}^{5} } \\ \\ \sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = 243x {}^{5} - \frac{405x {}^{4} y}{ \sqrt{x} } + \frac{270x {}^{3}y {}^{2} }{x} - \frac{90x {}^{2}y {}^{3} }{x \sqrt{x} } + \frac{15xy {}^{4} }{x {}^{2} } - \frac{y {}^{5} }{x {}^{2} \sqrt{x} } \\ \\ \sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = 243x {}^{5} - \frac{405x {}^{4} y}{ \sqrt{x} }. \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } + 270x {}^{3 - 1} y {}^{2} - \frac{90x {}^{2}y {}^{3} }{x \sqrt{x} }. \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } + 15x {}^{1 - 2} y {}^{4} - \frac{y {}^{5} }{x {}^{2} \sqrt{x} } . \frac{ \sqrt{x} }{ \sqrt{x} } \\ \\ \sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = 243x {}^{5} - \frac{405x {}^{4} \sqrt{x} }{ \sqrt{x}. \sqrt{x} } + 270x {}^{2} y {}^{2} - \frac{90x {}^{2}y {}^{3} \sqrt{x} }{x \sqrt{x}. \sqrt{x} } + 15x {}^{ - 1} .y {}^{4} - \frac{y {}^{5} \sqrt{x} }{x {}^{2} \sqrt{x} \sqrt{x} } \\ \\ \sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = 243x {}^{5} - \frac{405x {}^{4} \sqrt{x} }{x} + 270x {}^{2} y {}^{2} - \frac{90x {}^{2} y {}^{3} \sqrt{x} }{x {}^{2} } + 15. \frac{1}{x} .y {}^{4} - \frac{y {}^{5} \sqrt{x} }{x {}^{2}.x } \\ \\ \sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = 243x {}^{5} - 405x {}^{4 - 1} \sqrt{x} + 270x {}^{2} y {}^{2} - 90x {}^{2 - 2} y {}^{3} \sqrt{x} + \frac{15y {}^{4} }{x} - \frac{y {}^{5} \sqrt{x} }{x {}^{3} } \\ \\ \sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = 243x {}^{5} - 405x {}^{3} \sqrt{x} + 270x {}^{2} y {}^{2} - 90x {}^{0} y {}^{3} \sqrt{x} + \frac{15y {}^{4} }{x} - \frac{y {}^{5} \sqrt{x} }{x {}^{3} } \\ \\ \boxed{\sf (3x - \frac{y}{ \sqrt{x} } ) {}^{5} = 243x {}^{5} - 405x {}^{3} \sqrt{x} + 270x {}^{2} {y}^{2} - 90y {}^{3} \sqrt{x} + \frac{15y {}^{4} }{x} - \frac{y {}^{5} \sqrt{x} }{x {}^{3} } }$