Question

Para as seguintes funções quadráticas, faça o estudo dos sinais, mostrando os intervalos para f (x) > 0, f (x) = 0 e f (x) < 0.
a) f (x) = x² - 3x + 2.
b) f (x) = x² + 8x + 16.
c) f (x) = - x² + 5x + 6.
d) f (x) = - x² - 4x - 5.

Answer 1

Os estudos dos sinais das funções f(x) = x² - 3x + 2, f(x) = x² + 8x + 16, f(x) = -x² + 5x + 6 e f(x) = -x² - 4x - 5 estão descritos abaixo.

Precisamos calcular as raízes da função e analisar a concavidade da parábola.

a) Utilizando a fórmula de Bhaskara para calcular as raízes da equação do segundo grau x² - 3x + 2 = 0, obtemos:

Δ = (-3)² - 4.1.2

Δ = 9 - 8

Δ = 1

$x=\frac{3+-\sqrt{1}}{2}$

$x=\frac{3+-1}{2}$

$x'=\frac{3+1}{2}=2$

$x''=\frac{3-1}{2}=1$.

A parábola da função f possui concavidade para cima. Sendo assim:

• f(x) = 0 quando x = 1 ou x = 2;
• f(x) > 0 quando x ∈ (-∞,1) U (2,∞);
• f(x) < 0 quando x (1,2).

b) Utilizando a fórmula de Bhaskara para calcular as raízes da equação x² + 8x + 16 = 0, obtemos:

Δ = 8² - 4.1.16

Δ = 64 - 64

Δ = 0

x = -8/2

x = -4.

A parábola possui concavidade para cima. Logo:

• f(x) = 0, quando x = -4;
• f(x) > 0 quando x ≠ -4;
• Não há valores reais para x tal que f(x) < 0.

c) Utilizando a fórmula de Bhaskara para calcular as raízes da equação -x² + 5x + 6 = 0, obtemos:

Δ = 5² - 4.(-1).6

Δ = 25 + 24

Δ = 49

$x=\frac{-5+-\sqrt{49}}{2.(-1)}$

$x=\frac{-5+-7}{-2}$

$x'=\frac{-5-7}{-2}=6$

$x''=\frac{-5+7}{-2}=-1$.

A concavidade da parábola é para baixo. Então:

• f(x) > 0 quando x ∈ (-1,6);
• f(x) < 0 quando x ∈ (-∞,-1) U (6,∞);
• f(x) = 0 quando x = -1 ou x = 6.

d) Utilizando a fórmula de Bhaskara para calcular as raízes da equação -x² - 4x - 5 = 0, obtemos:

Δ = (-4)² - 4.(-1).(-5)

Δ = 16 - 20

Δ = -4.

A parábola possui concavidade para baixo. Logo:

• Não há valores para x tal que f(x) = 0;
• Não há valores para x tal que f(x) > 0;
• f(x) < 0 quando x ∈ IR.