Question

Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado igual a 24 cm, deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando seus cantos em quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante.

O lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível é:




Escolha uma:
a. 2
b. 4
c. 8
d. 10
e. 12​

Answer 1

• O que é derivação?

A derivação é uma das vertentes do cálculo diferencial e integral que consiste em, a partir de uma função $f(x)$ dada, encontrar uma outra função $f'(x)$, chamada de derivada, que representa a taxa em que $f(x)$ varia à medida em que x varia.

• Resolvendo o problema

A imagem anexa mostra o quadrado original à esquerda e o mesmo quadrado, à direita, já com os cantos recortados.

O volume da caixa será dado por

$V=\'area~da~base~.~altura\\\\V(x)=(24-2x)^2~.~x\\\\V(x)=\left[24^2-2~.~24~.~2x+(2x)^2 \right]~.~x\\\\V(x)=(576-96x+4x^2)~.~x\\\\V(x)=4x^3-96x^2+576x\\\\V(x)=x^3-24x^2+144x$

O gráfico dessa função é mostrado na segunda imagem anexa e, seu valor será máximo quando sua derivada for igual a zero.

$V'(x)=\dfrac{d}{dx}~(x^3-24x^2+144x)\\\\V'(x)=3x^2-48x^2+144\\\\V'(x)=x^2-16x+48$

Usando Bháskara

$\text{Coeficientes: a = 1, b = -16 e c = 48}\\\\\Delta=b^2-4\;.\;a\;.\;c=(-16)^2-4\;.\;1\;.\;48=256-192=64\\\\x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\;.\;a}=\frac{-(-16)\pm\sqrt{64}}{2\;.\;1}=\frac{16\pm8}{2}\\\\x_1=\frac{16+8}{2}=\frac{24}{2}=12\\\\x_2=\frac{16-8}{2}=\frac{8}{2}=4$

O valor de $x=12$ não serve pois representa metade da largura original, o que levaria a um volume zero (pelo gráfico, dá para ver que, realmente, esse é um ponto de mínimo).

• Conclusão

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/25656566