Question

Considerando uma elipse com centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse. Imagem sem legenda a) (13, 0) e (– 13, 0) b) (0, 13) e (0, – 13) c) (12, 0) e (– 12, 0) d) (0, 12) e (0, – 12) e) (5, 0) e (– 5, 0)

Answer 1

Resposta:

ExpliComo sabemos, em toda elipse vale a relação a² = b² + c², onde 2a é a distância do eixo maior, 2b é a distância do eixo menor e 2c é a distância entre os focos.

Pelas informações fornecidas pelo enunciado, temos que a = 13 e b = 5. Veja no desenho abaixo:

a² = b² + c²

13² = 5² + c²

169 = 25 + c²

c² = 169 – 25

c² = 144

c = 12

 

Como c = 12, os focos da elipse são (0,12) e (0,-12).

Answer 2

Utilizando definição de elipses, temos que estes focos são (0 , -12) e (0 , 12), letra D.

Explicação:

A equação geral de uma elipse é dada por:

$\frac{(x-x_0)^2}{b^2}+\frac{(y-y_0)^2}{a^2}=1$

Onde 'a' é o valor do semi-eixo maior, 'b' é o valor do semi-eixo menor (ou vice-versa dependendo de sobre qual eixo estão seus focos) e (Xo,Yo) são as coordenadas do centro da elipse, que neste caso é a origem (0,0).

Quando digo "semi", neste caso este termo simboliza que estes valores são metade dos eixos em si (distância do centro até os extremos e não de um extremo a outro), ou seja, '2a' seria o eixo maior e '2b' seria o eixo menor. Como já sabemos estes valores de semi-eixo, sabemos até a equação da nossa elipse:

$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{13^2}=1$

Porém o que queremos é a semi-distância focal 'c', onde podemos encontrar a semi-distância focal 'c' pela relação com os semi-eixos dada por:

a² = b² + c²

E assim substuindo os valores que temos dos semi-eixos nesta equação, ficamos com:

13² = 5² + c²

169 = 25 + c²

c² = 169 - 25

c² = 144

c = 12

Assim, sabendo que sua semi-distância focal é 12, sabemos os seus focos, pois como esta elipse tem focos em y, então as coordenadas dos focos são dadas da forma:

F1 = ( 0 , - c )

F2 = ( 0 , c )

E assim sabendo c:

F1 = ( 0 , - 12 )

F2 = ( 0 , 12 )

Então temos que estes focos são (0 , -12) e (0 , 12), letra D.

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