Question

1 - Qual é a posição relativa da reta r: 2x – y + 3 = 0 e a circunferência α = x²+ y²+2x-6y +5=0 ? 2 - Qual é a posição relativa das circunferências: (Obs: PRECISO DAS RESOLUÇÕES DAS CONTAS TAMBÉM)

Answer 1

A reta é secante.

Para descobrir a posição relativa entre uma reta e uma circunferência usamos a fórmula entre distância de um ponto e uma reta, adaptando-a para usar as coordenadas do centro da circunferência $x_c$ e $y_c$.

$d = \dfrac{|ax_c + by_c+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

De acordo com os valores de d encontrados, concluiremos a posição da reta.

• d maior que o raio → reta externa a circunferência

• d menor que o raio → reta secante a circunferência

• d igual ao raio → reta tangente a circunferência

A equação da circunferência precisa ser colocada na forma em que podemos ver o centro então usaremos o método de completar quadrados para consertá-la.

x² + y²+ 2x - 6y + 5 = 0

x² +2x + y² - 6y + 5 + 1 + 9 = +1 + 9

x² +2x + 1 + y² - 6y + 9 = 1 + 9 - 5

(x + 1)² + (y - 3)² = 5

Assim temos que o centro é o ponto (-1, 3) e o raio √5.

Agora vamos encontrar a posição relativa da reta de equação 2x – y + 3 = 0.

$d = \dfrac{|2.(-1)-1.3+3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \\\\\\d = \dfrac{|-2-3+3|}{\sqrt{4+1}}\\\\\\d = \dfrac{|-2|}{\sqrt5}\\\\\\d = \dfrac{2\sqrt5}{5}$

A distância encontrada é menor que √5 logo a reta é secante.

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