Question

Calcule os pontos críticos da função: . y = 2x^3- x^2

Answer 1

Deriva a função e iguala à zero a derivada.

y = 2x³ - x²

y' = 6x² - 1

6x² - 1 = 0

6x² = 1

x² = 1/6

x = ±√6/6

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os pontos críticos da referida função polinomial do terceiro grau - função cúbica - são, respectivamente:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf C' (0, 0)\:\:\:e\:\:\:C'' \bigg(\frac{1}{3},-\frac{1}{27}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função polinomial do terceiro grau:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x^{3} - x^{2}\end{gathered}$

Se:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = f(x)\end{gathered}$

Então:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 2x^{3} - x^{2}\end{gathered}$

Sabemos que o ponto crítico de uma função corrresponde ao ponto no qual sua derivada primeira é igual a "0".

Para calcularmos os pontos críticos da referida função, devemos:

• Calcular a derivada primeira da função.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = 2\cdot3\cdot x^{3 - 1} - 1\cdot2\cdot x^{2 - 1} = 6x^{2} - 2x\end{gathered}$

• Determinar as abscissas dos pontos críticos. Para isso, devemos igualar a derivada primeira a "0", ou seja:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} f'(x) = 0\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6x^{2} - 2x = 0\end{gathered}$

        Colocando o "x" em evidência, temos:

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x\cdot(6x - 2) = 0\end{gathered}$

        Portanto, as raízes são:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = 0\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} 6x'' - 2 = 0 \Longrightarrow x'' = \frac{1}{3}\end{gathered}$

         Portanto, as abscissas dos pontos críticos pertencem ao seguinte conjunto solução:

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \left\{0,\,\frac{1}{3}\right\}\end{gathered} }$

• Determinar as ordenadas dos pontos críticos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\,x' = 0\end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} y' = 2\cdot0^{3} - 0^{2} = 0\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{Se}\,x'' = \frac{1}{3}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y'' = 2\cdot\bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{3} - \bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{2} = -\frac{1}{27}\end{gathered}$

✅ Portanto, os pontos críticos são:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} C' = (0, \,0)\:\:\:e\:\:\:C'' = \bigg(\frac{1}{3},\,-\frac{1}{27}\bigg)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$