Question

Sendo T: R²→ R² uma transformação linear no mesmo plano. Determine os valores próprios e os vetores própeios de t(x,y)= (2x+y, x+2y).​

Answer 1

Os valores próprios são 3 e 1 e estão associados aos respectivos vetores próprios: (1,1) e (-1,1).

O que são valores e vetores próprios?

Em uma transformação linear T: U -> V, define-se autovetor todo vetor u ∈ U que satisfaz:

T(u) = λ.u

Onde, por definição, λ é o valor próprio (autovalor) associado ao vetor próprio u (autovetor), sendo que não se considera u nulo como vetor próprio.

Como calcular os autovalores de uma matriz?

Uma transformação linear pode ser expressa através de uma matriz. Para encontrar o autovalor dessa matriz associada a T, devemos calcular as raízes do polinômio característico dela. Sabemos que o polinômio característico é dado por:

$\boxed{\displaystyle{\mathsf{det(M - \lambda\cdot I) = 0}}}$

Onde:

• M é a matriz.
• λ é o autovalor.
• I é a matriz identidade.

Assim sendo, encontramos os autovalores (encontramos os λ) quando igualamos o polinômio característico a 0 para assim obter a equação característica.

Como encontrar os autovetores de uma matriz?

Após o cálculo do autovalor, devemos encontrar o autoespaço gerado por cada um dos autovalores. Para isso, para cada autovalor, siga o algoritmo:

1. Substitua o autovalor na matriz (M - λ.I).
2. Multiplique a matriz resultante por um vetor coluna de incógnitas distintas e iguale ao vetor coluna 0.
3. Encontre a solução do sistema.
4. Encontre o autoespaço.

Qual é a resposta da questão?

Encontramos primeiro a matriz da transformação linear aplicando vetores da base canônica (c), encontrando outros vetores da nova base formada pela imagem de T e escrevendo-os na base canônica.

T(x,y) = (2x+y, x+2y)

T(1,0) = (2,1) = 2.(1,0) + 1.(0,1)

T(0,1) = (1, 2) = 1.(1,0) + 2.(0,1)

$\mathsf{[ T ]_c = \left[\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right]}$

Agora, vamos calcular os valores próprios do polinômio característico.

$\displaystyle{\mathsf{det\left(\left[\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right] - \lambda\cdot \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]\right) = 0}} \Rightarrow\\\\\\det\left(\left[\begin{array}{cc}2-\lambda&1\\1&2-\lambda\end{array}\right]\right) = 0 \Rightarrow \\\\\\(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \begin{cases}\lambda_1=3\\\lambda_2=1\end{cases}$

Por fim, os vetores próprios:

Para λ = 3:

$\left[\begin{array}{cc}2-3&1\\1&2-3\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}} \Rightarrow\\\\\\ \begin{cases}-x+y=0\\x-y=0\end{cases} \Rightarrow x = y \Longrightarrow U_1 = [(x,y)] = \boxed{[(1,1)]}$

Para λ = 1:

$\left[\begin{array}{cc}2-1&1\\1&2-1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]\right) = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right]}} \Rightarrow\\\\\\ \begin{cases}x+y=0\\x+y=0\end{cases} \Rightarrow x = -y \Longrightarrow U_2 = [(x,y)] = \boxed{[(-1,1)]}$

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