Question

1)Determine a equação elipse de focos F1(3,0) e F2(-3,0)  e vértices, que são as extremidades do eixo maior, A1(5,0) e A2(-5,0).

2)Uma elipse tem focos nos pontos F1(0,3) e F2(0,-3), se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) Temos que:

$A_1A_2=\sqrt{(-5-5)^2+(0-0)^2}$

$A_1A_2=\sqrt{(-10)^2+0^2}$

$A_1A_2=\sqrt{100}$

$A_1A_2=10$

Assim, $2a=10~\longrightarrow~a=\dfrac{10}{2}~\longrightarrow~a=5$

$F_1F_2=\sqrt{(-3-3)^2+(0-0)^2}$

$F_1F_2=\sqrt{(-6)^2+0^2}$

$F_1F_2=\sqrt{36}$

$F_1F_2=6$

Deste modo, $2c=6~\longrightarrow~c=\dfrac{6}{2}~\longrightarrow~c=3$

Como $a^2=b^2+c^2$, então:

$a^2=b^2+c^2$

$5^2=b^2+3^2$

$25=b^2+9$

$b^2=25-9$

$b^2=16$

$b=\sqrt{16}$

$b=4$

A equação dessa elipse é:

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$

$\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$

$\boxed{\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1}$

2) Temos que:

$F_1F_2=\sqrt{(-3-3)^2+(0-0)^2}$

$F_1F_2=\sqrt{(-6)^2+0^2}$

$F_1F_2=\sqrt{36}$

$F_1F_2=6$

Assim, $2c=6~\longrightarrow~c=\dfrac{6}{2}~\longrightarrow~c=3$

Além disso, sabemos que $2b=2$, ou seja, $b=1$

Como $a^2=b^2+c^2$, então:

$a^2=b^2+c^2$

$a^2=1^2+3^2$

$a^2=1+9$

$a^2=10$

$a=\sqrt{10}$

A equação dessa elipse é:

$\dfrac{x^2}{b^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1$

$\dfrac{x^2}{1^2}+\dfrac{y^2}{(\sqrt{10})^2}=1$

$\boxed{\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{10}=1}$

Veja as elipses em anexo