Question

A receita da venda de determinado produto é dada por R = 100q e o custo de produção é
dado por C = q2 + 120. Nestas condições, determine a quantidade que deve ser produzida e
comercializada para que se obtenha o lucro máximo.

Answer 1

Olá, Katia.

O lucro é a diferença entre receita e custo.
Assim, a função que descreve o lucro é dada por:

$L(q)=R(q)-C(q)=100q-(q^2+120)=100q-q^2-120=\\\\ =-q^2+100q-120$

No ponto onde a primeira derivada de $L(q)$ se anula, temos um ponto crítico, que pode ser um máximo ou um mínimo:

$L'(q)=-2q+100=0\Leftrightarrow2q=100\Leftrightarrow \boxed{q=50}$

Para que $L(50)$ seja um máximo, a segunda derivada em $q=50$ deve ser negativa. Vejamos se isto ocorre:

$L'(q)=-2q+100\Rightarrow L''(q)=-2<0\Rightarrow L(50)\text{ \'e um m\'aximo.}$

Portanto, a quantidade que deve ser produzida e comercializada para que se obtenha o lucro máximo é de $\boxed{50\text{ unidades}}.$