Question

Derivadas - ajuda pf

Answer 1

a 36 não entendi direito o enunciado

37-


$]f(x)=x*e^{-x}\\\\\\\ \text{primeira derivada}\\\\f'(x)= e^{-x}+x*(-e^{-x}) \\\\f'(x)=e^{-x}*(1-x)\\\\\\\text{Segunda Derivada}\\f''(x)=-e^{-x}*(1-x)+e^{-x}*(-1)\\\\f''(x)= e^{-x}*(-1+x-1) \\\\f''(x)=e^{-x}*(x-2)$


$\text{Terceira derivada}\\\\f'''(x)-e^{-x}(x-2)+ e ^{-x}*(1})\\\\f'''(x)=e^{-x}*(-x+2+1)\\\\f'''(x)= e^{-x}*(3-x)$


$\text{quarta derivada}\\\\f^4(x)= -e^{-x}*(3-x)+e^{-x}*(-1)\\\\f^4(x)=e^{x}*(-3+x-1)\\\\f^4(x)= e^{x}(x-4)$

com essas 4 derivadas ja conseguimos ver um padrão
a derivada de ordem n será:

$\Bmatrix{f^n(x) = e^{-x}(n-x) \to \boxed{\text{quando 'n' eh impar}}\\\\f^n(x) = e^{-x}(x-n) \to \boxed{\text{quando 'n' eh par}}\end$


então

$\boxed{\boxed{f^{1000}(x)=e^{x}(x-1000)}}$

Answer 2

36. $F(x)=f(xf(xf(x)))$


Derivando a igualdade acima em relação a $x$, aplicando a Regra da Cadeia e a Regra do Produto, temos

$F'(x)=[f(xf(xf(x)))]'\\ \\ F'(x)=f'(xf(xf(x)))\cdot [xf(xf(x))]'\\ \\ F'(x)=f'(xf(xf(x)))\cdot [(x)'\cdot f(xf(x))+x\cdot (f(xf(x)))']\\ \\ F'(x)=f'(xf(xf(x)))\cdot [1\cdot f(xf(x))+x\cdot f'(xf(x))\cdot (xf(x))']\\ \\ F'(x)=f'(xf(xf(x)))\cdot [f(xf(x))+x\cdot f'(xf(x))\cdot ((x)'\cdot f(x)+x\cdot f'(x))]\\ \\ F'(x)=f'(xf(xf(x)))\cdot [f(xf(x))+x\cdot f'(xf(x))\cdot (1\cdot f(x)+x\cdot f'(x))]\\ \\ F'(x)=f'(xf(xf(x)))\cdot [f(xf(x))+x\cdot f'(xf(x))\cdot (f(x)+x\cdot f'(x))]$


Na igualdade acima, para $x=1$, temos

$F'(1)=f'(1\cdot f(1\cdot f(1)))\cdot [f(1\cdot f(1))+1\cdot f'(1\cdot f(1))\cdot (f(1)+1\cdot f'(1))]\\ \\ F'(1)=f'(f(f(1)))\cdot [f(f(1))+f'(f(1))\cdot (f(1)+f'(1))]\\ \\ F'(1)=f'(f(2))\cdot [f(2)+f'(2)\cdot (2+4)]\\ \\ F'(1)=f'(3)\cdot [3+5\cdot 6]\\ \\ F'(1)=6\cdot [3+30]\\ \\ F'(1)=6\cdot 33\\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} F'(1)=198 \end{array} }$


37. Encontrar a derivada de ordem $1\,000$ da função

$f(x)=xe^{-x}$


Vamos aplicar a ideia de indução simples para a derivada de ordem $n$ desta função:


$\bullet\;\;$ Para $n=1\text{ (primeira derivada)}$

$f'(x)=\left(xe^{-x} \right )'\\ \\ f'(x)=(x)'\cdot e^{-x}+x\cdot \left(e^{-x} \right )'\\ \\ f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot \left(-e^{-x} \right )\\ \\ f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}\\ \\ f'(x)=(1-x)e^{-x}$


$\bullet\;\;$ Para $n=2\text{ (segunda derivada)}$

$f''(x)=\left[f'(x) \right]'\\ \\ f''(x)=\left[(1-x)e^{-x} \right]'\\ \\ f''(x)=(1-x)'\cdot e^{-x}+(1-x)\cdot \left(e^{-x} \right )'\\ \\ f''(x)=(-1)\cdot e^{-x}+(1-x)\cdot \left(-e^{-x} \right )\\ \\ f''(x)=-e^{-x}-(1-x)e^{-x}\\ \\ f''(x)=\left(-1-(1-x) \right )e^{-x}\\ \\ f''(x)=\left(-1-1+x \right )e^{-x}\\ \\ f''(x)=\left(x-2 \right )e^{-x}\\ \\ f''(x)=-\left(2-x \right )e^{-x}$


Podemos notar um certo padrão para a derivada de qualquer ordem. Suponhamos ,por hipótese de indução, que a derivada de ordem $k$ é dada por

$f^{(k)}(x)=\left(-1 \right )^{k+1}\cdot (k-x)e^{-x}$


A partir daí, queremos provar que a derivada de ordem $k+1$ é

$f^{(k+1)}(x)=\left(-1 \right )^{(k+1)+1}\cdot \left[(k+1)-x \right ]e^{-x}$


Pela hipótese de indução, temos

$\bullet\;\;$ $f^{(k+1)}(x)=\left[f^{(k)}(x) \right ]'$

$f^{(k+1)}(x)=\left[\left(-1 \right )^{k+1}\cdot (k-x)e^{-x} \right ]'\\ \\ f^{(k+1)}(x)=\left(-1 \right )^{k+1}\cdot \left[(k-x)'\cdot e^{-x}+(k-x)\cdot(e^{-x})' \right ]\\ \\ f^{(k+1)}(x)=\left(-1 \right )^{k+1}\cdot \left[(-1)\cdot e^{-x}+(k-x)\cdot(-e^{-x}) \right ]\\ \\ f^{(k+1)}(x)=\left(-1 \right )^{k+1}\cdot \left[-e^{-x}-(k-x)e^{-x} \right ]\\ \\ f^{(k+1)}(x)=\left(-1 \right )^{k+1}\cdot \left[-1-(k-x) \right ]e^{-x}\\ \\ f^{(k+1)}(x)=\left(-1 \right )^{k+1}\cdot \left[-1-k+x \right ]e^{-x}\\ \\ f^{(k+1)}(x)=\left(-1 \right )^{k+1}\cdot \left(-1 \right )\cdot \left[k+1-x \right ]e^{-x}\\ \\ f^{(k+1)}(x)=\left(-1 \right )^{(k+1)+1}\cdot \left[(k+1)-x \right ]e^{-x}$

como queríamos demonstrar.


Então, a derivada de ordem $n$ é

$f^{(n)}(x)=\left(-1 \right )^{n+1}\cdot (n-x)e^{-x}$


Para $n=1\,000$, temos

$f^{(1\,000)}(x)=\left(-1 \right )^{1\,000+1}\cdot (1\,000-x)e^{-x}\\ \\ f^{(1\,000)}(x)=\left(-1 \right )^{1\,001}\cdot (1\,000-x)e^{-x}\\ \\ f^{(1\,000)}(x)=(-1)\cdot(1\,000-x)e^{-x}\\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} f^{(1\,000)}(x)=(x-1\,000)e^{-x} \end{array} }$