Question

Uma das mais belas fórmulas da geometria plana é a fórmula de Heron de Alexandria, que descreve a relação entre a área A de um triângulo qualquer com os valores a, b e c de seus lados e seu semiperímetro p. portanto, a área do triângulo equilátero de lado L é:

Answer 1

Resposta:

D

Explicação passo-a-passo:

$p=\dfrac{l+l+l}{2}=\dfrac{3l}{2}$

$S=\sqrt{\dfrac{3l}{2}\cdot\left(\dfrac{3l}{2}-l\right)\cdot\left(\dfrac{3l}{2}-l\right)\cdot\left(\dfrac{3l}{2}-l\right)}$

$S=\sqrt{\dfrac{3l}{2}\cdot\left(\dfrac{3l-2l}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{3l-2l}{2}\right)\cdot\left(\dfrac{3l-2l}{2}\right)}$

$S=\sqrt{\dfrac{3l}{2}\cdot\dfrac{l}{2}\cdot\dfrac{l}{2}\cdot\dfrac{l}{2}}$

$S=\sqrt{\dfrac{3l^4}{16}}$

$S=\sqrt{\dfrac{3\cdot(l^2)^2}{4^2}}$

$S=\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}$

Letra D

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Geometria Plana !

Fórmula de HERON ( Aplicação ) :

$\mathtt{ A~=~\sqrt{ p(p - a)*(p - b)*(p - c) } }$

, Onde a , b e c , são os lados d'um triângulo qualquer ...

onde p → é o semi-perímetro , semí → significa metade , então é a metade do perímetro , Matematicamente :

$\mathtt{ p~=~ \dfrac{P }{2} }$ , onde o pesão ( P ) , é o perímetro , note :

• O perímetro é a soma de todos lados de qualquer figura plana .

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o Enunciado diz que dado um triângulo equilátero de lado L , então inicialmente , podemos ter :

$\red{ \boxed{ \mathtt{ A~=~ \sqrt{ \dfrac{P}{2} \Big( \dfrac{P}{2} - a \Big)*\Big( \dfrac{P}{2} - b \Big)*\Big( \dfrac{P}{2} - c\Big) } } } }$

Sabe-se que P → a soma de todos os lados :

$\iff \mathtt{ A~=~\sqrt{ \dfrac{L+L+L}{2} \Big( \dfrac{L+L+L}{2} - L \Big)*\Big( \dfrac{L+L+L}{2} - L \Big)*\Big( \dfrac{L+L+L}{2} - L \Big) } }$

$\iff \mathtt{ A~=~ \sqrt{ \dfrac{3L}{2} \Big( \dfrac{3L}{2} - L \Big)*\Big( \dfrac{3L}{2} - L \Big)*\Big( \dfrac{3L}{2} - L \Big) } }$

$\iff \mathtt{ A~=~\sqrt{ \dfrac{3L}{2}\Big( \dfrac{3L}{2} - L\Big)^3 } }$

$\iff \mathtt{ A~=~ \sqrt{ \dfrac{3L}{2}\Big( \dfrac{3L-2L}{2}\Big)^3}~=~\sqrt{\dfrac{3L}{2} * \dfrac{L^3}{8}} }$

$\iff \mathtt{ A~=~ \sqrt{ \dfrac{3L^4}{16}}~=~\dfrac{ \sqrt{3} * L^2 }{4} }$

$\green{ \boxed{ \boxed{ \mathtt{ A~=~ \dfrac{ L^2 \sqrt{3}}{4} } } } }$✔

Ótimos estudos aí !