Question

Exercicio de Calculo 1

Answer 1

Temos a seguinte função:

$\boxed{\sf f(x) = \frac{x {}^{2} + 1}{x + 3} }$

Primeiro vamos organizar o par ordenado em que a reta tangente passa sobre uma curva qualquer. O valor da abscissa "x" a questão nos diz que é x = 1, já o "y" teremos que substituir o valor de "x" na função.

$\sf \underbrace{f(x)}_{y}= \frac{x {}^{2} + 1}{x + 3} \\ \sf y = \frac{1 {}^{2} + 1 }{1 + 3} \sf = \frac{1 + 1}{4} = \frac{2}{4} = \boxed{\sf\frac{1}{2} }$

Portanto o par é: $(1, \frac{1}{2})$

Agora vamos encontrar o coeficiente angular "m" dessa reta tangente que corresponde ao cálculo da derivada da função f(x). O primeiro passo será derivar a função f(x) para isso devemos lembrar da regra da derivada quociente, dada por:

$\boxed{ \sf \left( \begin{array}{} \sf\frac{f}{g} \end{array} \right)' = \frac{f'.g - f.g'}{g {}^{2} } }$

Vamos lá:

$\sf f(x) = \frac{x {}^{2} + 1 }{x + 3} \\ \\ \sf f(x)' = \frac{(x {}^{2} + 1)'.(x + 3) - (x {}^{2} + 1).(x + 3) ' }{(x + 3) {}^{2} } \\ \\ \sf f(x)' = \frac{2.1.(x + 3) - (x {}^{2} + 1).1}{(x + 3) {}^{2} }$

Temos que:

$\sf y = \underbrace{m} _{derivada}x + n \\ \\ \sf m = f(x)'$

Portanto:

$\sf m = f(x) ' = \frac{2.1(x + 3) - (x {}^{2} + 1).1}{(x + 3) {}^{2} } \\ </p><p>$

Nesse momento, vamos substituir o valor de "x" que a própria questão nos fornece, que é 1.

$\sf m = f(1)' = \frac{2.(1 + 3) - (1 {}^{2} + 1).1 }{(1 + 3) {}^{2} } \\ \\ \sf m = f(1)'= \frac{2.(4) - (1 + 1)}{(4) {}^{2} } \\ \\ \sf m = f(1)'= \frac{8 - 2}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \\ \\ \boxed{\sf m =f(1)'= \frac{3}{8} }$

Agora para finalizar, vamos substituir na lei de formação y = mx + n:

$\sf y = mx + n \\ \\ \sf y = \frac{3}{8}x + n$

Para descobrir o valor de "n", basta só substituir os valores do par ordenado.

$\sf y = \frac{3}{8} x + n \\ \\ \sf \frac{1}{2} = \frac{3}{8} .1 + n \\ \\ \sf \frac{1}{2} - \frac{3}{8} = n \\ \\ \sf \frac{1.8-2.3}{2.8} = n \\ \\ \sf \frac{8-6}{16}=n \\ \\ \sf \frac{2}{16}\\ \\ \boxed{\sf n = \frac{1}{8}}$

Substituindo mais uma vez na lei de formação:

$\sf y = \frac{x}{2} + n \\ \\ \boxed{\sf y = \frac{x}{2} + \frac{1}{8}}$

Espero ter ajudado