Question

Calcule o volume de um solido que está limitado pelos planos x=0, x=3, y=0, y=3, z=0 e pela equação de z abaixo. z = 9 + x^2 + y^2

Answer 1

O volume do sólido em questão é dado pela integral dupla da função $z=f(x,y)=9+x^2+y^2$ no domínio $0\leq x\leq 3$ e $0\leq y\leq 3$.

$V=\int\limits^0_3 \int\limits^0_3 {9+x^2+y^2} \, dx dy$

A integral é sobre um domínio numérico retangular, logo trata-se de uma integral iterada, que pode ser calculada integrando primeiro em X e depois em Y normalmente.

Calculando a integral interna primeiro:

$\int\limits^0_3 {9+x^2+y^2} \, dx = 9x+\frac{x^3}{3} + xy^2 \bigg|^{x=3}_{x=0}\\ \int\limits^0_3 {9+x^2+y^2} \, dx = 36 + 3y^2$

Agora calculando a integral em y do resultado:

$V=\int\limits^0_3 {36+3y^2} dy = 36y+y^3 \bigg |^{y=3}_{y=0} = 135$

$V = 135 u.v$