Question

Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² - 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja minimo e o valor desse custo minimo.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Na função, os coeficientes são:

a = 1, b = –80 e c = 3000

Quantidade de unidades vendidas para que o custo seja mínimo será dada por Xv.

XV=-b/2.a

XV=80/2

XV=40

40 unidades

Para que o custo seja mínimo, a empresa deverá produzir somente 40 unidades do produto.

Valor do custo mínimo

C(40)=40²-80.40+3.000

C(40)=1.600-3.200+3.000

C(40)=1.600-200

C(40)=1.400

O valor do custo mínimo é de R$ 1.400,00

Answer 2

Temos a seguinte função Custo C(x):

$\boxed{ \sf C(x) = x {}^{2} - 80x + 3000}$

Vamos interpretar como se fosse uma equação do segundo grau, que na verdade é. Note que o valor do coeficiente (a) é positivo, portanto a parábola tem concavidade voltada para cima (sorriso), isso nos indica que o ponto mínimo é representado pelo "x" do vértice, dado pela fórmula:

$\boxed{ \sf X_v = \frac{-b}{2.a}}$

"b" e "a" representam os coeficientes, então antes de inciar de fato os cálculos, vamos identificá-los:

$\sf x {}^{2} - 80x + 3000 \\ \sf \begin{cases} \sf a = 1 \\ \sf b = - 80 \\ \sf c = 3000 \end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$\sf X_v = \frac{-( - 80)}{2.1} \\ \\ \sf X_v = \frac{80}{2} \\ \\ \boxed{ \sf X_v = 40 \: unidades}$

Para encontrar o custo mínimo, você pode substituir esse valor de "x" na equação ou então usar a fórmula do y do vértice. Vamos usar a fórmula do "y" do vértice, dada por:

$\boxed{ \sf Y_v = \frac{ - \Delta}{4.a}}$

Substituindo os dados:

$\sf Y_v = \frac{-\Delta}{4.a} \\ \\ \sf Y_v = \frac{ - (b {}^{2} - 4.a.c) }{4.1} \\ \\ \sf Y_v = \frac{ - ( - 80) {}^{2} - 4.1.3000 }{4} \\ \\ \sf Y_v = \frac{ - (6400 -12000) }{4} \\ \\ \sf Y_v = \frac{ - ( - 5600)}{4} \\ \\ \sf Y_v = \frac{5600}{4} \\ \\ \boxed{\sf Y_v = 1400 \: reais}$

Espero ter ajudado