A função v(t) = 4t - 4, em que t é dado em segundos, representa a velocidade de certo móvel. Determine a função posição S(t) desse movimento sabendo que no tempo 3 segundos o móvel se encontra na posição 15 metros. Lembre-se: A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo e pode ser expressa através de Equação Diferencial.
Escolha uma:
a. S(t) = 2t2 – 4t + 15.
b. S(t) = 2t2 – 4t + 9.
c. S(t) = 4t2 – t + 9.
d. S(t) = 2t2 – t + 15.
e. S(t) = 2t – 4 + 9.
Respostas
A função posição do móvel tratado na questão tem expressão dada por S(t) = 2.t² - 4t + 9.
O que são equações diferenciais?
São igualdades que envolvem n-ésimas derivadas de funções genéricas. Por exemplo, a função velocidade pode se relacionar com a função posição através de uma equação diferencial de primeira ordem:
v = dS/dt ⇔ V = S'(t)
Ou seja, a velocidade é a primeira derivada a função posição.
Como resolver a questão?
Precisamos encontrar S(t) dado v(t). Note que, para isso, podemos integrar indefinidamente a função velocidade.
∫v(t) dt =
∫(4t - 4) dt =
4∫tdt - 4∫dt =
4.t²/2 - 4.t + C =
S(t) = 2.t² - 4t + C
Porém ainda precisamos encontrar o valor da constante "C". Faremos isso sabendo que S(3) = 15, ou seja:
S(3) = 2.(3)² - 4.3 + C
15 = 18 - 12 + C
C = 15-6
C = 9
Finalmente, encontramos a função S(t):
B) S(t) = 2.t² - 4.t + 9
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