Question

Uma empresa tem o lucro líquido mensal (L) definido pela equação L = -x² + 34x, onde x é a quantidade de funcionários contratados pela empresa no mês considerado e L é o lucro em milhares de reais. Qual o lucro máximo possível e qual a quantidade de funcionários que permite a obtenção desse lucro?

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{L_{m\'ax}=R\ 289,00~|~~17~funcion\'arios}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Dada uma função quadrática de coeficientes reais $y=ax^2+bx+c$, tal que $a\neq 0$, seu gráfico é uma parábola. As coordenadas do vértice desta parábola definem o ponto de máximo ou mínimo, o que depende de sua concavidade.

Neste caso, temos a função lucro $L=-x^2+34x$, tal que $x$ é a quantidade de funcionários.

Ao fazermos o estudo do sinal da função, observa-se que $a<0$. Sabemos que neste caso, sua concavidade será voltada para baixo e a parábola terá ponto máximo.

As fórmulas que nos permitem encontrar as coordenadas do vértice $(x_v,~y_v)$ são:

$x_v=-\dfrac{b}{2a}~~~\mathtt{e}~~~y_v=-\dfrac{\Delta}{4a},~\Delta=b^2-4ac$

Como podemos ver, os coeficientes da função são $a=-1$, $b=34$ e $c=0$. Substituindo estes valores nas fórmulas, temos:

$x_v=-\dfrac{34}{2\cdot (-1)}~~~\mathtt{e}~~~y_v=-\dfrac{34^2-4\cdot (-1)\cdot0}{4\cdot(-1)}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_v=-\dfrac{34}{-2}~~~\mathtt{e}~~~y_v=-\dfrac{1156}{-4}$

Simplificando as frações, temos

$x_v=17~~~\mathtt{e}~~~y_v=289$

Sabendo que $y_v=f(x_v)$, temos a resposta para as duas questões.

O lucro máximo possível é R$289,00 e a quantidade de funcionários que permite a obtenção deste lucro é 17 funcionários.