Question

Alguém pode mim ajudar nessa questão?

Answer 1

Binômio de Newton:

$\boxed{\boxed{(x+y)^{n}=\sum\limits_{p=0}^{n}C_{n,p}\cdot x^{n-p}\cdot y^{p}}}$

onde

$\boxed{\boxed{C_{n,p}=\left(\limits^{n}_{p}\right)=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}}}$
__________________________________

$\displaystyle A_{n}=\sum\limits_{p=0}^{n}C_{n,p}(2^{p}\cdot 3^{n-p}-4^{p})\\\\\\A_{n}=\sum\limits_{p=0}^{n}C_{n,p}\cdot 3^{n-p}\cdot 2^{p}-C_{n,p}\cdot 4^{p}$

Separando os somatórios:

$\displaystyle A_{n}=\sum\limits_{p=0}^{n}C_{n,p}\cdot 3^{n-p}\cdot 2^{p}-\sum\limits_{p=0}^{n}C_{n,p}\cdot 4^{p}$

Veja que o primeiro somatório tem a forma do Binômio de Newton. Nesse caso, temos que x = 3 e y = 2.

Logo:

$\displaystyle A_{n}=(3+2)^{n}-\sum\limits_{p=0}^{n}C_{n,p}\cdot4^{p}\\\\\\A_{n}=5^{n}-\sum\limits_{p=0}^{n}C_{n,p}\cdot1\cdot4^{p}\\\\\\A_{n}=5^{n}-\sum\limits_{p=0}^{n}C_{n,p}\cdot1^{n-p}\cdot4^{p}$

O somatório também tem a forma do Binômio de Newton:

$A_{n}=5^{n}-(1+4)^{n}\\\\A_{n}=5^{n}-5^{n}\\\\\boxed{\boxed{A_{n}=0}}$

Isso só é válido para n > 0, pois o limite superior (n) de um somatório deve ser maior que o limite interior (que é zero)