Question

questão de matematica sec $\frac{\pi }{6}$

Answer 1

Temos que descobrir o valor de:

$\boxed{ \sf sec \frac{5\pi}{6} \: . \: sec \frac{7\pi}{6} }$

Primeiramente, vamos substituir o valor de π rad na expressão, ou seja, 180°.

$\sf sec \frac{5.180}{6} .sec \frac{7.180}{6} \\ \\ \sf sec \frac{900}{6} .sec \frac{1260}{6} \\ \\ \sf sec150 {}^{ \circ} .sec210 {}^{ \circ}$

Vamos substituir também a relação trigonométrica equivalente a secante.

• A secante é o inverso do cosseno, ou seja, podemos escrever sendo 1 sobre o cosseno.

$\sf \frac{1}{cos150 {}^{ \circ} } . \frac{1}{cos210 {}^{ \circ} }$

Agora devemos encontrar os valores correspondentes aos ângulos de 150° e 210°, para isso vamos usar a redução ao primeiro quadrante.

Para encontrar o valor de 150°, pense assim:

• O ângulo de 150° andou 180° e retornou 30°, portanto o arco congruo a 150° é 30°.

$\boxed{ \sf150 {}^{ \circ} = - 30 {}^{ \circ} }$

O sinal ficou negativo, pois 150° se encontra no segundo quadrante onde o cosseno é negativo.

Do mesmo jeito vamos achar o valor de 210°:

• O ângulo de 210° andou 180° e andou mais 30°, portanto 30° também é congruo de 210°.

$\boxed{\sf 210 {}^{ \circ} = - 30 {}^{ \circ} }$

O sinal é negativo pelo mesmo motivo anterior, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

Tendo feito isso, vamos substituir os valores:

$\sf \frac{1}{ - cos30 {}^{ \circ} }. \frac{1}{ - cos 30 {}^{ \circ} }$

Substituindo o valor do cosseno de 30° e calculando:

$\sf \frac{1}{ - \frac{ \sqrt{3} }{2} } . \frac{1}{ - \frac{ \sqrt{3} }{2} } = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{3} . \sqrt{3} }{2.2} } = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{9} }{4} } = \frac{1}{ \frac{3}{4} } = \\ \\ = \sf \frac{1}{1} . \frac{4}{3} = \boxed{\sf \frac{4}{3} }$

Espero ter ajudado