Question

Em um triângulo ABC, AB = 10 cm, AC = 8 cm e BC = 6 cm. Os pontos P, Q e R são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, AC e BC. Calcule o perímetro do triângulo PQR.

Answer 1

Resposta:

$P_{PQR} = 12$ cm

Explicação passo-a-passo:

                          C

                          /\

                        /    \

                    3/        \4

                  R/----------\Q

                  /   \          / \

              3/       \       /    \4

              /           \   /         \

         B /------5----\/----5-----\ A

                            P

O perímetro do triângulo PQR é a soma dos lados PR, PQ e QR, os quais precisam ser calculados.

Faremos isso através de semalhança de triângulos.

O triângulo BPR é semelhante ao ABC. Assim:

$\frac{BC}{BR} = \frac{AC}{PR}\\\\\frac{6}{3} = \frac{8}{PR}\\\\2 = \frac{8}{PR}\\\\2.PR = 8\\\\PR = \frac{8}{2}\\\\PR = 4$

O triângulo APQ é semelhante ao ABC. Assim:

$\frac{AC}{AQ} = \frac{BC}{PQ}\\\\\frac{8}{4} = \frac{6}{PQ}\\\\2 = \frac{6}{PQ}\\\\2.PQ = 6\\\\PQ = 3$

O triângulo CQR é semelhante ao ABC. Assim:

$\frac{BC}{CR} = \frac{AB}{QR}\\\\\frac{6}{3} = \frac{10}{QR}\\\\2 = \frac{10}{QR}\\\\2.QR = 10\\\\QR = 5$

Com os valores dos lados do triângulo PQR calculados, podemos calcular seu perímetro:

PQ + PR + QR =

3 + 4 + 5 =

12 cm