Question

1) Em uma pirâmide hexagonal regular a aresta da base mede 4✓3cm e a altura,8cm. Calcular:
a) A medida do apótema da base,
b) Medida do apótema da pirâmide:
c) Medida da aresta lateral:
d) A área da base:
e) Área lateral:
f) A área total​

Answer 1

a) A medida do apótema da base (ap):

Para encontrar o apótema da base, devemos lembrar que a base dessa pirâmide é obviamente um hexágono e existe uma propriedade de diz:

• É possível traçar 6 triângulos equiláteros em um hexágono.

Tendo conhecimento dessa propriedade, para encontrar o apótema, basta calcularmos a altura desse triângulo equilátero e multiplicar por 6, já que são 6 triângulos, a relação para o cálculo será dada por:

$\boxed{\sf h \triangle = ap= \frac{l \sqrt{3} }{2} \rightarrow \begin{cases} \sf l \rightarrow aresta \: \: ou \: \:lado \\ \sf ap \rightarrow ap \acute{o}tema \: da \: base\end{cases}}$

Substituindo os dados:

$\sf ap = \frac{l \sqrt{3} }{2} \\ \sf ap = \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3} }{2} \\ \sf ap = \frac{4. \sqrt{9} }{2} \\ \sf ap = \frac{4.3}{2} \\ \sf ap = \frac{12}{2} \\ \boxed{ \sf ap = 6cm}$

b) Medida do apótema da pirâmide (app):

Para calcular o apótema dessa pirâmide vamos usar uma relação pitagórica entre o apótema da base e a altura dessa pirâmide, a relação será dada por:

$\boxed {\sf (app) {}^{2} = (ap) {}^{2} + h {}^{2} \rightarrow \begin{cases} \sf h \rightarrow altura \\ \sf app \rightarrow ap \acute{o}tema \: da \: pir \hat{a}mide \\ \sf ap \rightarrow ap \acute{o}tema \: da \: base \end{cases}}$

Substituindo:

$\sf(app) {}^{2} = (6) {}^{2} + (8) {}^{2} \\ \sf (app) {}^{2} = 36 + 64 \\ \sf (app) {}^{2} = 100 \\ \sf app = \sqrt{100} \\ \boxed{ \sf app = 10cm}$

c) Medida da aresta lateral (arl):

A aresta lateral também será calculada através de uma relação pitagórica, dada pela metade da aresta/lado dessa pirâmide e o apótema da pirâmide que acabamos de encontrar, a relação é:

$\boxed{ \sf (arl) {}^{2} = ( \frac{l}{2} ) {}^{2} + (app) {}^{2} \rightarrow \begin{cases} \sf arl \rightarrow aresta \:lateral \\ \sf l \rightarrow aresta \: ou \: lado \\ \sf app \rightarrow ap \acute{o}tema \: da \: pir \hat{a}mide\end{cases}}$

Substituindo:

$\sf (arl) {}^{2} = ( \frac{4 \sqrt{3} }{2} ) {}^{2} + 10 {}^{2} \\ \sf (arl) {}^{2} = (2 \sqrt{3} ) {}^{2} + 100 \\ \sf (arl) {}^{2} = 2.2.3 + 100 \\ \sf (arl) {}^{2} = 12 + 100 \\ \sf (arl) {}^{2} = 112 \\ \sf arl = \sqrt{122} \\ \sf arl = \sqrt{16.7} \\ \boxed{ \sf arl = 4 \sqrt{7} cm}$

d) A área da base (Ab):

Vamos usar a mesma lógica do item a), ou seja, basta calcular a área de um triângulo equilátero e multiplicar por 6, isso dará-se através de:

$\boxed{ \sf Ab = \frac{6l {}^{2} \sqrt{3} }{4} \rightarrow \begin{cases} \sf l \rightarrow lado \: \: ou \: \: aresta \\ \sf Ab \rightarrow \acute{a}rea \: da \: base\end{cases}}$

Substituindo:

$\sf Ab = \frac{6.(4 \sqrt{3}) {}^{2} \sqrt{3} }{4} \\ \\ \sf Ab = \frac{6.4.4.3. \sqrt{ 3} }{4} \\ \\ \sf Ab = \frac{288 \sqrt{3} }{4} \\ \\ \boxed{ \sf Ab = 72 \sqrt{3} cm {}^{2} }$

e) Área lateral (Al):

Se você observar, a lateral é formada por triângulos e se você lembrar bem, a fórmula da área de um triângulo é dada por base vezes altura dividido por 2, só que no nosso caso a base é o lado/aresta e a altura é o apótema da pirâmide, então podemos escrever isso como:

$\boxed{ \sf Al = \frac{6l.(app)}{2} \rightarrow \begin{cases} \sf Al \rightarrow \acute{a}rea \: lateral \\ \sf l \rightarrow aresta \: \: ou \: \: lado \\ \sf app \rightarrow ap \acute{o}tema \: da \: pir \hat{a}mide \sf \end{cases}}$

Não esqueça de multiplicar por 6, já que são 6 triângulos laterais.

Substituindo:

$\sf Al = \frac{6.4 \sqrt{3} .(10)}{2} \\ \\ \sf Al = \frac{24.10. \sqrt{3} }{2} \\ \\ \sf Al = \frac{240 \sqrt{3} }{2} \\ \\ \boxed{ \sf Al = 120 \sqrt{3} cm {}^{2} }$

e) A área total (At):

Esse cálculo é bem óbvio, basta você somar a área da base a área lateral que você encontrará a área total.

$\boxed{ \sf At = Ab + Al\rightarrow \begin{cases} \sf Ab \rightarrow \sf\acute{a}rea \: da \: base \\ \sf Al \rightarrow \acute{a}rea \: lateral\end{cases}}$

Substituindo:

$\sf At = 72 \sqrt{3 } + 120 \sqrt{3} \\ \boxed{ \sf At = 192 \sqrt{3} cm {}^{2} }$

Espero ter ajudado