Question

O valor númerico da expressão algébrica (x² -xy+ y²)(x²+ xy+ y²)(x² - y²) , para x = 2 e y = -1 é A) 63 B)52 C)41 D)30

Answer 1

Resposta:

Alternativa A

Explicação passo-a-passo:

Podemos resolver utilizando produtos notáveis:

$(x^{2}-xy+y^{2})(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-y^{2}) =(x^{2}-xy+y^{2})(x^{2}+xy+y^{2})(x+y)(x-y)$

$(x^{2}-xy+y^{2})(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-y^{2}) =[(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})][(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})]$

$(x^{2}-xy+y^{2})(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-y^{2}) =[x^{3}+y^{3}][x^{3}-y^{3}]$

Ainda podemos perceber que temos uma diferença de quadrados, que pode ser expressa por:

$[x^{3}+y^{3}][x^{3}-y^{3}]=(x^{3})^{2}-(y^{3})^{2}=x^{6}-y^{6}$

Em analogia (para esclarecer o passo anterior):

$a =x^{3}\\b=y^{3}\\(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Por fim, é necessário apenas substituir os valores para x e y:

$x^{6}-y^{6} = 2^{6}-(-1)^{6} = 64-1=63$

Podemos támbem substituir os valores na expressões contidas nos parênteses e depois multiplicá-las. Sendo assim:

$x^{2}-xy+y^{2} = 2^{2}-2.(-1)+(-1)^{2}=4-(-2)+1=4+2+1=7$

$x^{2}+xy+y^{2} = 2^{2}+2.(-1)+(-1)^{2}=4+(-2)+1=4-2+1=3$

$x^{2}-y^{2} = 2^{2}-(-1)^{2}=4-1=3$

Agora, multiplicando os valores encontrados:

$(x^{2}-xy+y^{2})(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-y^{2}) = (7)(3)(3)= 7.9 = 63$

Portanto, o valor numérico da expressão é 63, que equivale à alternativa A.