Question

Resolva a inequação abaixo: x+7/x-2>2

Answer 1

Toda função da forma ax + b graficamente é uma reta crescente ou decrescente dependendo do "a" respectivamente ser positivo ou negativo. Esta reta sempre cortará o eixo das abscissas em "x" = -b/a. Considerando  isso a função assumirá o mesmo sinal do "a" para todos os valores de "x" à direita do -b/a logo terá sinal contrário ao de "a" para os valores de "x" à esquerda de -b/a.
(x +7)/(x -2)  - 2 > 0
(x + 7 - 2x + 4)/(x - 2) > 0
(- x + 11)/(x - 2) > 0
observando o denominador concluímos que no conjunto solução NÃO poderá ter o valor x = 2 porque ele anula o denominador e não existe divisão por zero
Façamos um quadro auxiliar para resolução da inequação escrevendo
na 1ª linha a função -x + 11
na 2ª linha a função  x - 2
na 3ª linha a divisão de (-x + 11) por (x -2)
Então para cada uma das duas funções fazer o estudo do sinal conforme acima informado para estabelecer os intervalos que elas são positivas ou negativas
Por fim depois de estabelecidos tais intervalos aplique a simples regra de sinal para a divisão (que constará na 3ª linha do quadro auxiliar).
                               ________+2___________________ ___+11____________
         - x + 11           ++++++++↓+++++++++++++++++++++++++↓- - - - - - - - --  
             x - 2           - - - - - - --↓+++++++++++++++++++++++++↓+++++++++++
(-x + 11)/(x -2)         - - - - - - - ↓ ++++++++++++++++++++++++ ↓- - - - - - - - - -  
O conjunto solução para a divisão ser > 0 será conforme quadro acima
V = { x ∈ R /      2  <  x  < 11   } 
Observação: não foi preciso excluir o x =2 do conjunto solução porque necessariamente x > 2   
Resposta:     V = { x ∈ R /      2  <  x  < 11   }