Question

Dados os vetores u⃗ = (3,0,1), v = (−2,1, −1), w⃗ = (1,2,3) e t = (4,1,0), verificar se existem números a, b e c tais que t = au⃗ + bv + cw⃗ .

Answer 1

Vamos relembrar algumas propriedades de vetores

1)O produto de um escalar por um vetor é feito da seguinte forma.

Sendo um vetor qualquer  $\fbox{\displaystyle \vec{u} = (\ \widehat{i} , \ \widehat{j} , \ \widehat{k}) }$ e $\fbox{\displaystyle A }$ um escalar, o produto vai gerar um novo vetor. fica assim :

$\fbox{\displaystyle A.\vec{u} = (\ A.\widehat{i} , \ A.\widehat{j} , \ A.\widehat{k}) }$

2)Soma de vetores

Sendo os vetores :

$\fbox{\displaystyle \vec{V} = ( \widehat{x_1} ,\ \widehat{y_1} ,\ \widehat{z_1}) }$ e $\fbox{\displaystyle \vec{W} = ( \widehat{x_2}, \ \widehat{y_2},\widehat{z_2}) }$

A soma $\vec V + \vec W$ vai nos gerar um novo vetor. É feito da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle \vec V + \vec W = ( \widehat{x_1} + \widehat{x_2},\ \widehat{y_1}+\widehat{y_2}, \ \widehat{z_1} + \widehat{z_2}) }$

3) igualdade de vetores

Sendo os vetores :

$\vec{V} = ( \widehat{x_1} ,\ \widehat{y_1} ,\ \widehat{z_1} )$ e $\vec{W} = ( \widehat{x_2}, \ \widehat{y_2},\widehat{z_2})$

Eles são iguais se :

${\displaystyle \widehat{x_1}=\widehat{x_2} } \\ { \widehat{y_1} = \widehat{y_2} } { \\\widehat{z_1} = \widehat{z_2} }$

Sabendo disso, vamos para a questão.

A questão da os vetores :

$\vec{u} = ( 3,\ 0,\ 1) \\\ \vec{v} = (-2,1,-1) \\\ \vec{w} = (1,2,3) \ \\\vec t = (4,1,0)$

e nos pede para verificar se há números a,b,c tais que :

$\fbox{\displaystyle \vec t = a.\vec u + b.\vec v + c.\vec w }$

Substituindo os respectivos vetores :

$\fbox{\displaystyle (4,1,0) = a.(3,0,1) + b.(-2,1,-1) + c.(1,2,3) }$

fazendo o produto :

$\fbox{\displaystyle (4,1,0) = (a.3,a.0,a.1) + (-2.b,1.b,-1.b) + (1.c,2.c,3.c) }$

Fazendo a soma e agrupando conforme a propriedade 2 :

$\fbox{\displaystyle (4,1,0) = [ ( 3.a - 2b + 1.c) ,\ (0+b+2.c ), (a-b+3c) ] }$

Agora vamos igualar ponto com ponto igual a propriedade 3 :

$\displaystyle \left \{ {{\displaystyle 3a-2b+c =4} \atop {\displaystyle b+2c=1}} \atop {a-\displaystyle b+3c = 0} \right.$

Temos esse sistema de 3 equações e 3 incógnitas para resolver.

Vou multiplicar a 3ª equação por 3 e em seguida subtrair a 1ª da 3ª, ou seja

$\fbox{\displaystyle 3.(a-b+3c) = 0 \to 3a - 3b + 9c = 0 }$

subtraindo a 1ª da 3ª, temos que :

$\fbox{\displaystyle 3a - 3b + 9c - (3a-2b+c) = 0 - 4 \to 3a-3b+9c - 3a +2b - c = -4 }$

$\fbox{\displaystyle -b+8c = -4 \to 8c = b - 4 \to c = \frac{b}{8} - \frac{1}{2} }$

Agora vamos na 2ª equação e substituir o c :

$\fbox{\displaystyle b+2c = 1 \to b + 2(\frac{b}{8} - \frac{1}{2}) = 1 \to b + \frac{b}{4} - 1 = 1 }$

logo

$\fbox{\displaystyle b + \frac{b}{4} - 1 = 1 \to \frac{5b}{4} = 2 \to b = \frac{8}{5} }$

Agora podemos encontrar o valor de C

$\fbox{\displaystyle C = \frac{b}{8} - \frac{1}{2} \to C = \frac{8}{\frac{5}{8}} - \frac{1}{2} \to C = \frac{8}{5}.\frac{1}{8} - \frac{1}{2} }$

Logo

$\fbox{\displaystyle C = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} \to C = \frac{-3}{10} }$

Vamos encontrar o valor de a, substituindo C e b na 3ª equação :

$\fbox{\displaystyle a-b+3c = 0 \to a = b - 3c \to a = \frac{8}{5} -3.\frac{-3}{10} \to a = \frac{8}{5} + \frac{9}{10} }$

logo

$\fbox{\displaystyle a = \frac{16}{10} + \frac{9}{10} \to a = \frac{25}{10} \to a =\frac{5}{2} }$

Pronto, está verificado. De fato existem a,b,c tais que :

$\fbox{\displaystyle \vec t = a.\vec u + b.\vec v + c.\vec w }$

sendo :

$\fbox{\displaystyle a = \frac{5}{2}, \ b = \frac{8}{5},\ c = \frac{-3}{10} }$

Qualquer dúvida é só falar.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

vamos ver se t pode ser gerado por u ;v ; w

para isso o conjunto ( u;v;w;t) tem que ser LD

(0;0;0) xu+yv+mw+ nt

x , y , m e n nem todos nulos

(0;0;0) = x(3;0;1)+ y(-2;1;-1) + m (1;2;3) + n( 4;1;0)

0= 3x-2y +m+4n(1)

0=y+2m+n(2)

0=x-y+3m(3)

(-3) (3) +(1)

4y-8m +4n=0(4)

(4) + -4(2)

4y-8m+4n=0

-4y-8m-4n=0

-16m=0

m=0

substituindo em (2)

y+n=0. y= -n

em (1) temos

3x-2n+4n=0

3x +2n=0

3x=-2n

x= -2n/3

solução ( -2n/2; -n; 0 ; n)

como tem várias soluções esses vetores são LD

se são LD existem a, b e c que t=a u+bv+cw

para achar a,b e c temos

(4;1;0)= a(3;0;1) +b ( -2;1;-1) + c( 1; 2;3)

3a -2b+c=4 (1)

b+2c =1(2)

a-b+3c=0(3)

(1)+(3)

4a+5c =4(4)

(1)+(2)

3a+3c=5(5)

-4(5)+3(4)

-12c=-20

15c=12

3c=8

c=8/3

substituindo em (2)

b+16/3=1

b=-13/3

a=7/9

obs: para verificar se existe a,b e c basta saber se é LD ou LI

se for LD exite os escalares a,b e c

se for LI não exite .