Verifique se a equação x² + y² +2x - 3 = 0 representa uma circunferência. Em caso positivo, qual o centro e o raio e em caso negativo justifique porque não é.
Respostas
A equação representa uma circunferência de raio 2 e centro em (-1,0).
Sabemos que uma circunferência pode ser equacionada de diversas maneiras, sendo que uma delas é a equação reduzida de uma circunferência, dada por:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²
Onde:
- (x₀,y₀) é a coordenada do centro da circunferência
- R é o raio da circunferência.
Nesse sentido, vamos tentar escrever a equação da circunferência descrita na questão no formato de uma equação reduzida.
x² + y² + 2x - 3 = 0
x² + 2x + y² = 3
x² + 2x + (y - 0)² = 3 <= Equação 1
Note que para que fatoremos (x² + 2x) em um quadrado perfeito, devemos ter um trinômio da forma: (x + x₀)² = x² + 2.(x₀).x + (x₀)². Então através de um completamento de quadrados, vamos ver como reescreveríamos apenas a parte (x² + 2x):
x² + 2x =
x² + 2x + 1 - 1 =
(x² + 2.(1).x + (1)²) - 1 =
(x + 1)² - 1
Logo, substituindo na equação 1 que deixamos anteriormente:
x² + 2x + (y - 0)² = 3
(x² + 2x) + (y - 0)² = 3
((x+1)² - 1) + (y - 0)² = 3
(x+1)² + (y - 0)² = 3 + 1
(x+1)² + (y - 0)² = 4
( x - (-1) )² + ( y - 0 )² = (2)²
Portanto, a equação: x² + y² +2x - 3 = 0 é igual a equação reduzida ( x - (-1) )² + ( y - 0 )² = (2)² que representa uma circunferência de raio 2 centrada no ponto C = (-1,0).
