Question

qual o valor de 2x/sen de 5x quando o x se aproxima de 0?

Answer 1

Vamos relembrar de umas relações de limites.

1)Limites fundamentais.

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{Sen(x)}{x} = 1 }$

2) Regra de L'hospital

Dada duas funções quaisquer f e g deriváveis num intervalo aberto contendo b.

se der indeterminação, do tipo $\frac{0}{0}$  ou $\pm \frac{\infty}{\infty}$ , ou seja :

$\displaystyle \lim_{x \to \ b} [\frac{f}{g}] = \frac{0}{0} ou \displaystyle \lim_{x \to \ b} [\frac{f}{g}] = \pm \frac{\infty}{\infty}$

então, podemos derivar o numerador e denominador

$\displaystyle \lim_{x \to \ b} [\frac{f}{g}] = \lim_{x \to \ b} \frac{[f]'}{[g]' }$

e assim, podemos derivar até sumir com a indeterminação.

$\displaystyle \lim_{x \to \ b} [\frac{f}{g}] = \lim_{x \to \ b} \frac{[f]'}{[g]' } = \lim_{x \to \ b} \frac{[f]''}{[g]''} = ...$

Sabendo disso, vamos para a questão.

A questão pede o valor quando x se aproxima de 0, logo se trata de limites quando x tende a 0. Então temos o seguinte :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2x}{Sen(5x)} }$

Se substituirmos x = 0, teremos indeterminação. assim :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2x}{Sen(5x)} \to \frac{2.0}{Sen(5.0)} \to \frac{0}{0} }$

Então precisamos achar alguma forma de resolver.

Há duas formas. de resolver

1ª forma de resolver

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2x}{Sen(5x)} }$

Seria muito bom se tivéssemos :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{5x}{Sen(5x)} \to 1 }$

Aí seria só aplicar o limite fundamental e pronto.

Então, vamos pegar o limite e multiplicar o numerador e denominador por 5, ficando assim :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2x}{Sen(5x)}.\frac{5}{5} \to \lim_{x \to 0}\ \frac{2.5x}{5.Sen(5x)} }$

portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2}{5}.\frac{5x}{Sen(5x)} \to \frac{2}{5}.1 }$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2x}{Sen(5x)} = \frac{2}{5} }$

2ª forma de resolver

Se substituirmos x = 0, teremos indeterminação. assim :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2x}{Sen(5x)} \to \frac{2.0}{Sen(5.0)} \to \frac{0}{0} }$

Então podemos usar a regra de L'hospital. Derivando o numerador e denominador.

Relembrando derivadas

Derivada de um monômio

$\fbox{\displaystyle [a.x^n]' = a.n.x^{n-1} \ \ (com \ \ a\neq) }$

Derivada da função Sen(u)

$\fbox{\displaystyle Sen(u) = Cos(u).u' }$

(sendo "u" uma função)

Vamos aplicar a regra de L'hospital

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{[2x]'}{[Sen(5x)]'} \to \lim_{x \to 0}\ \frac{2}{Cos(5.x).5} }$

sabendo que Cos(0) = 1. Vamos aplicar $x \to 0$

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2}{Cos(5.x).5} \to \frac{2}{Cos(5.0).5} \to \frac{2}{5} }$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 0}\ \frac{2x}{Sen(5x)} = \frac{2}{5} }$

Answer 2

Limite trigonométrico fundamental

$\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\large\displaystyle\mathsf{\lim_{u \to 0}\dfrac{sen(u)}{u}=1}}}}}$

$\displaystyle\mathsf{\lim_{x \to 0}\dfrac{2x}{sen(5x)}}\\\mathsf{ \dfrac{ \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{2x}{x}}{ \displaystyle 5.\lim_{x \to 0} \dfrac{sen(5x)}{5x}}}$

$\mathsf{ \dfrac{ 2\displaystyle \lim_{x \to \: 0 } 1}{ \displaystyle 5.\lim_{x \to 0} \dfrac{sen(5x)}{5x}}}$

Faça

$\mathsf{u=5x}\\\mathsf{u\to\,0~quando~x\to\,0}$

$\mathsf{ \dfrac{ 2\displaystyle \lim_{x \to \: 0 } 1}{ \displaystyle 5.\lim_{x \to 0} \dfrac{sen(5x)}{5x}}} = \mathsf{ \dfrac{ 2\displaystyle \lim_{x \to \: 0 } 1}{ \displaystyle 5.\lim_{u \to 0} \dfrac{sen(u)}{u}}} \\\mathsf{ \dfrac{2}{5.1}= \large\boxed{\boxed{\boxed{ \frac{2}{5} }}}}$