Question

P.A. E P.G.
1 - Pafúncio e Marocas tiveram cinco filhos. Colocando as idades dos filhos em ordem crescente, as três primeiras estão em progressão aritmética (P.A.) e as três últimas estão em progressão geométrica (P.G.), ambas de razão2. Sabendo que a idade do mais velho é igual à soma das idades dos demais filhos, pode-se concluir que a diferença de idade entre o mais velho e o caçula é de
a) 20 anos
b) 21 anos
c) 22 anos
d) 23 anos
e) 24 anos

Answer 1

Em ordem crescente: a, b, c, d, e

Dados: e = a + b + c + d

PA (a, b, c) então c = b + 2; b = a + 2; c = a + 4;

PG (c, d, e) então e = 2.d; d = 2.c; d = 2.(a + 4); d = 2a + 8; e = 4.c; e = 4.(a + 4); e = 4a + 16

e = 4a + 16 (primeira equação)

e = a + b + c + d; e = a + a + 2 + a + 4 + 2a + 8; e = 5a + 14 (segunda equação)

$\left \{ {{e - 4a = 16} \atop {e - 5a = 14 (-1)}} \right. \\ \left \{ {{e - 4a = 16} \atop {-e + 5a = - 14 }} \right. \\ a = 2 \\ e - 4.2 = 16 \\ e = 16 + 8 \\ e = 24$

Diferença do mais velho e o caçula = e - a = 24 - 2 = 22 anos

item C

Answer 2

razão = 2

5 idades em ordem crescente, onde os 3 primeiros são uma PA e os 3 últimos são uma PG, o qual PA soma ou subtrai a razão, enquanto a PG multiplica ou divide a razão. Entãio:
> A razão de uma PA é encontrada, subtraindo um termo pelo termo anterior;
> A razão de uma PG é encontrada, dividindo um termo pelo termo anterior.

assim, temos:

A1, A2, A3, A4 e A5, o qual:
A1= idade do 1º filho;
A2= idade do 2º filho;
A3= idade do 3º filho;
A4= idade do 4º filho;
A5= idade do 5º filho

Supondo que a idade do primeiro filho seja x e recordando que a idade dos 3 pimeiros filhos sejam uma PA e a razão é 2, temos:
> A1= x
> A2= x+2
> A3= x+2+2 <=> A3= x+4

Recordando que a idade dos 3 últimos filhos sejam uma PG e a razão é 2, temos:
> A3= 1º termo da PG = x+4 <=> A3= x+4
> r=A4/A3 <=> 2=A4/x+4 <=> A4=2x+8
> r=A5/A4 <=> 2=A5/2x+8 <=> A5= 4x+16

Organizando, temos:

A1= x
A2= x+2
A3= X+4
A4= 2x+8
A5= 4x+16

Porém, não analisamos a última informação que o enunciado nos relata, o qual a idade do mais velho é também a soma da idade dos demais irmãos. Assim:
 A5=A1+A2+A3+A4 = x+(x+2)+(x+4)+(2x+8)+(4x+16) <=> A5= 5x+14

Já que A5=4x+16 e A5=5x+14, igualemos as equações:

A5=A5 <=> 4x+16=5x+14 <=> -x=-2 <=> x=2

Portanto:

Se A1= x <=> A1=2;
Se A5= 4x+16 <=> A5=4*2+16 <=> A5= 24
ou se A5= 5x+14 <=> A5=5*2+14 <=> A5= 24

O enunciado questiona a diferença de idade entre o mais velho e o caçula, assim:
A5-A1= 24-2 = 22 anos.

Item C.

Terminando os cálculos, temos as demais idades:
A1= 2
A2= x+2 = 4
A3= X+4 = 6
A4= 2x+8 = 12
A5= 24