Question

Exercícios de revisão de Equações e de Intervalos Reais:
1. Determinar o conjunto solução das seguintes equações do 2º grau, sendo U = IR. OBS.: para resolver
essas equações podem usar a fórmula que acharem mais adequada, como Bhaskara, soma e produto,
etc.
a) x² - 4x - 32 = 0
b) -x² + 4x = 0
c) 4x² = 100
e) (x - 5)² = 2x( x-5 )
f) 2x² - 7x + 5 = 0
g) -x² -2x -4 = 0​

Answer 1

Antes de resolvermos vamos fazer uma pequena revisão sobre equações do 2°.

Uma equações do 2 grau é uma equação do tipo $ax^{2} + bx + c$ onde a, b e c são chamados coeficientes, que são números reais com "a" diferente de 0, e x é a incógnita a ser encontrada.

Existem dois tipos de equações do 2 grau, as completas e as incompletas.

Para resolver a equação completa, que é a que tem todos os coeficientes diferentes de 0, utilizamos a seguinte fórmula :

$\frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}$

Existem dois tipos de equações do 2 grau incompletas, as que tem os coeficientes a e b diferentes de 0 e as que tem a e c diferentes de zero. Sendo assim existem também duas maneiras de responder.

QUANDO SE TEM OS COEFICIENTES A E B DIFERENTES DE 0, OU SEJA, QUANDO TEMOS UMA EQUAÇÃO NA FORMA: $ax^2 + bx$

Colocamos o x em evidência, e fica:

x(ax + b) = 0

Quando duas coisas são multiplicadas e o resultado é zero, uma delas tem que ser igual a zero, então temos duas raízes:

x = 0 ou ax+b = 0 ⇒ x = -b/a

QUANDO SE TEM OS COEFICIENTES A E C DIFERENTES DE 0, OU SEJA, QUANDO TEMOS UMA EQUAÇÃO NA FORMA: $ax^2 + c$

Para esse tipo de equação resolveremos como uma equação comum, assim:

$ax^2 = c\\x^2 = c/a\\x = \pm \sqrt{c/a}$

Ou seja, nesse caso também temos duas soluções possíveis:

$x = + \sqrt{c/a} \\x = - \sqrt{c/a}$  

Agora, com essa mini revisão, vamos resolver as questões:

a) $x = \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2 - 4 . 1 . (-32)}}{2 . 1} = \frac{4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{4\pm 12}{2}$

Então teríamos:

$x_1 = \frac{4+12}{2} = 8\\x_2 = \frac{4-12}{2} = -4$

S = {-4,8}

b) x (-x + 4) = 0

Então $x_1 = 0\\-x+4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$

c)

$x^2 = 100/4\\x^2 = 25\\x = \pm \sqrt{25} = \pm 5\\x_1 = 5 \\x_2 = -5$

S = {-5,5}

e) Lembre-se de um produto notável que diz que $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Teríamos então:

$x^2 - 10x + 25 = 2x^2 - 10x\\x^2 - 2x^2 -10x +10x = 0\\-x^2 = 0\\x^2 = 0 \\x = 0$

S = {0}

f) $x = \frac{-(-7)\pm \sqrt{(-7)^2 - 4 . 2 . 5}}{2 . 2} = \frac{7\pm \sqrt{9}}{4} = \frac{7 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 5/2$

$x_2 = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

S = {1, 5/2}

g) Não estou conseguindo digitar fórmulas, mas nessa questão o conjunto solução é vazio pois delta é um valor negativo e por tanto a questão não apresenta soluções reais.

S = {}