Question

Seja a matriz A = [aij] 3x3 cujas entradas satisfazem a condição: aij = 1, |i - j| > 1; -1, |i - j| ≤ 1 a) Apresente a matriz A b) Calcule tr(A.At-3I₃)

Answer 1

Olá.

Sabemos que:

$A = (a_{ij})=\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

a) Montando a matriz pelas condições dadas:

$A = \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&-1\end{array}\right]$

b) Primeiro saiba que o traço de uma matriz é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada. Dito isso, para resolver este item basta encontrar a matriz  (A.At - 3 I₃) e somar os elementos de sua diagonal.

Vemos que a matriz A é igual a sua transposta, portanto encontrar A.At é o mesmo que encontrar A.A = A².

$A^2=\left[\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&-1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-1&-1&-1\\1&-1&-1\end{array}\right]\\\\\\A^2 = \left[\begin{array}{ccc}3&1&-1\\1&3&1\\-1&1&3\end{array}\right]$

Agora subtraímos A² por 3.I₃ ( matriz identidade):

$\left[\begin{array}{ccc}3&1&-1\\1&3&1\\-1&1&3\end{array}\right] - 3\cdot\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}\underline{0}&1&-1\\1&\underline{0}&1\\1&1&\underline{0}\end{array}\right]$

E então calculamos que o traço é a soma dos 0 sublinhados.

tr(A.At - 3I₃) = 0 + 0 + 0 = 0