Question

Qual é a soma dos algarismos do menor número natural de três algarismos que, dividido por 12, por 18 e por 45, deixa, em cada caso, resto igual a 4?

Answer 1

O menor número de 3 algarismos que deixa resto 4 quando dividido por 12, 18 e 45 é o número 184, cuja soma dos algarismos é $1 + 8 + 4 = 13.$

Para resolvermos essa questão, precisamos utilizar o conceito de MMC.

O que é MMC?

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) nada mais é do que o menor número que é divisível por 2 ou mais números ao mesmo tempo, ou seja, é possível se dividir por todos os números sem deixar resto.

Como encontro o MMC?

Uma forma de calcular o MMC é fatorar simultaneamente os número em fatores primos. Para isso, colocamos um número ao lado dos outros, traçamos uma barra e sempre dividimos pelo menor número primo que possa dividir pelo menos um dos números. Paramos, quando não é mais possível realizar divisões. Por fim, o MMC será o produto dos fatores primos que encontramos.

Aplicando ao nosso caso

Vamos fatoras 12, 18 e 45 simultaneamente, como vimos anteriormente:

$\begin{array}{r r r |l} 12 & 18 & 45 & 2\\ 6 & 9 & 45 & 2\\ 3 & 9 & 45 & 3\\ 1 & 3 & 15 & 3 \\ 1 & 1 & 5 & 5\\ 1 & 1 & 1 & MDC(12, 18, 45) = 2^2\cdot 3^2\cdot5 = 180 \end{array}$

Tá, encontramos o menor número que é múltiplo de 12, 18 e 45, no que isso nos ajuda? Simples! 180 deixa resto 0 quando dividido por qualquer um desses números. Dessa forma, se somarmos 4 a 180, obtendo 184, passaremos a obter resto 4, ao dividir por 12, 18 e 45.

Assim, o menor número de três algarismos, que deixa resto 4 quando dividido por 12, 18 e 45 é 184.