Question

Sabendo que os pontos A(–3, –1), B(–2, 6) e C(5, 5) são vértices de um quadrado ABCD, analise as afirmativas. 01) A área do quadrado vale 50 u.a. 02) O vértice D tem coordenadas (4, –2). 04) A circunferência que circunscreve o quadrado tem raio igual a 5 u.c. 08) A reta suporte da diagonal BD tem equação 4x + 3y – 10 = 0. 16) As diagonais do quadrado se interceptam no ponto (1, 2). A soma das alternativas corretas pertence ao intervalo

Answer 1

01) Verdadeiro

Temos que:

$\overline{AB}=\sqrt{(6+1)^2+(-2+3)^2}$

$\overline{AB}=\sqrt{7^2+1^2}$

$\overline{AB}=\sqrt{49+1}$

$\overline{AB}=\sqrt{50}$

Os lados do quadrado medem $\sqrt{50}$

A área do quadrado $ABCD$ é:

$S=(\sqrt{50})^2$

$S=50~\text{u}.\text{a}$

02) Verdadeiro

Seja $D(x_D,y_D)$

As diagonais do quadrado se interceptam no centro do quadrado. O ponto de interseção é o ponto médio de cada diagonal

Seja $O$ o ponto de interseção das diagonais

Temos que:

$\bullet~~x_O=\dfrac{x_A+x_C}{2}$

$x_O=\dfrac{-3+5}{2}$

$x_O=\dfrac{2}{2}$

$x_O=1$

$\bullet~~y_O=\dfrac{y_A+y_C}{2}$

$y_O=\dfrac{-1+5}{2}$

$y_O=\dfrac{4}{2}$

$y_O=2$

Logo, $O(1,2)$

Mas, esse ponto também é ponto médio de $\overline{BD}$

$\bullet~~x_O=\dfrac{x_B+x_D}{2}$

$1=\dfrac{-2+x_D}{2}$

$-2+x_D=2\cdot1$

$-2+x_D=2$

$x_D=2+2$

$x_D=4$

$\bullet~~y_O=\dfrac{y_B+y_D}{2}$

$2=\dfrac{6+x_D}{2}$

$6+x_D=2\cdot2$

$6+x_D=4$

$x_D=4-6$

$x_D=-2$

Logo, $D(4,-2)$

04) Verdadeiro

O diâmetro da circunferência que circunscreve o quadrado corresponde à diagonal do quadrado

$d=l\sqrt{2}$

$d=\sqrt{50}\cdot\sqrt{2}$

$d=\sqrt{100}$

$d=10$

O diâmetro vale 10 u.c. Assim, o raio vale 5 u.c.

08) Verdadeiro

• Coeficiente angular:

$m=\dfrac{y_D-y_B}{x_D-x_B}$

$m=\dfrac{-2-6}{4-(-2)}$

$m=\dfrac{-2-6}{4+2}$

$m=\dfrac{-8}{6}$

$m=\dfrac{-4}{3}$

• Equação da reta:

$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$

$y+2=\dfrac{-4}{3}\cdot(x-4)$

$3y+6=-4x+16$

$4x+3y+6-16=0$

$4x+3y-10=0$

16) Verdadeiro

As diagonais do quadrado se interceptam no ponto $O(1,2)$

A soma das alternativas corretas é:

$1+2+4+8+16=31$